翟亚利 张志华 邵松世
（1.海军工程大学基础部 武汉 430033）（2.海军工程大学舰船与海洋学院 武汉 430033）
备件是舰船装备维修保障的重要物质资源，为实现备件的精确化保障，一方面需要准确掌握备件需求规律，科学配置随舰备件和周转备件，以提高备件保障的满足程度；
另一方面需要有效控制备件配置规模，有效降低舰船装备维修保障成本。因此，在舰船装备备件保障过程中，以备件利用率作为精确化保障的重要度量指标，通过有效评估备件利用率，可以优化备件的种类和数量，对提高装备维修保障效益具有重要意义。
近年来，备件保障能力评估［1～2］与备件配置优化［3～4］作为备件保障研究的重要内容，受到人们的极大重视，取得了大量研究成果［5～6］。尤其是在备件保障能力度量方面，针对备件保障的计划制定、筹措、储备和供应等不同保障环节建立起了备件保障能力度量指标体系，如常用的使用可用度［7～8］，备件保障概率［9～10］、备件满足率［11］、备件利用率［12］等；
同时针对不同备件所能够收集到的信息特点，学者们给出相应的备件保障指标评估方法，并在备件配置优化等方面进行了有益的探讨［8，11］。在备件保障指标的众多研究中，人们对备件保障概率等度量指标关注较多，对备件利用率的研究较少，能够收集到的文献也很少［12～15］。目前，在对备件利用率的理论研究方面，主要是定性分析备件利用率的影响因素，而较少涉及研究备件利用率与其他备件保障指标（如备件满足率、备件保障概率等）之间的数学关系。如文献［12］给出备件利用率的积分计算公式，并结合实例分析了备件利用率与备件满足率之间的数量关系及变化趋势，但并没有给出方便工程使用的数学模型。文献［13］基于工程实际给出了备件利用率的估算方法，但该估算结果和仿真结果之间存在较大误差。文献［14］利用单项法和系统法分析了备件利用率的影响因素，指出了提高备件利用率的相关措施建议。文献［15］通过分析备件故障后的修复运转过程，将可修复备件处于完好状态与修复状态的时间占比作为利用率，建立了可修复备件的利用率预计模型，用于维修站点的设计与优化。总体上来看，目前还没有建立备件利用率与备件保障概率之间的数学关系。因此，有必要对舰船装备备件利用率进行分析，深入探讨备件利用率与备件保障概率之间的关系，这对舰船备件配置优化具有重要指导意义。
本文在备件寿命服从指数分布的假设下，对舰船装备备件利用率的概率模型及其工程估计方法进行研究。首先，依据备件利用率的统计定义，建立了备件利用率的概率模型，该模型在备件配置数量给定的条件下，给出了备件利用率与备件保障概率之间的定量关系；
其次，分析了备件利用率的性质及其变化规律，从理论上解释了舰船装备随舰备件利用率不高的原因，研究了舰船备件利用率的适用性及其工程意义；
进而，给出了基于备件保障概率的利用率工程估计方法，通过数值计算的方法分析了工程估计方法的近似精度，为工程使用提供依据；
最后，通过实例分析说明工程估计方法的应用场景及工程意义。
2.1 备件利用率概率模型
由国军标GJB1909A-2009《装备可靠性维修性保障性要求论证》可知，备件利用率就是在规定的级别上和规定时间内，实际使用的备件数与该级别实际拥有的备件数之比。设舰船备件均为不可修件，其寿命服从故障率为λ的指数分布。当该舰船备件配置有m(≥1)个时，在规定保障任务时间T内的备件利用率Y为
其中X为保障任务时间T内实际需要的备件数，即备件的实际需求个数。这里假定m≥1，这是因为当m=0表示不配置备件，此时并不需要研究备件的利用率。
显然，式（1）是从统计的角度给出的备件利用率定义，适合于装备维修保障活动的统计分析工作。但在实际舰船备件供应保障规划和随舰携行配置方案制定时，由于此时备件保障活动尚未实施，给备件供应保障规划或随舰携行方案制定带来很大不便。
结论1：假设备件寿命服从故障率为λ的指数分布，在保障任务时间T内配置m个备件，则在保障任务时间T内备件利用率Y的数学期望L(m ，T)为
证明：由于备件寿命服从参数为λ的指数分布，因此，其在保障任务时间T内的故障次数X服从Poisson分布，即
由此可得式（1）的数学期望为
结论1表明，备件利用率的大小由备件平均故障数（λT）和备件配置数量m共同决定。其中平均故障数实际上是备件在保障任务时间内的故障次数的数学期望，即备件的故障率与工作强度的乘积 λT 。
2.2 备件利用率的性质
结论2：在给定备件配置数量m(m≥1)的情况下，备件利用率L(m，T)是平均故障数 λT的增函数。在固定平均故障数λT的情况下，备件利用率L(m，T)是备件配置数量的减函数，即
首先证明在给定备件配置数量m(m≥1)的情况下备件利用率是平均故障数的增函数。事实上，由于，则式（2）可改写为如下形式：
式（6）对 λT 求导，得到：
由此可见，在给定备件配置数量m(m≥1)的情况下备件利用率L(m，T)是平均故障数的增函数。
对于不等式（5），由于
即，在固定平均故障数λT的情况下，备件利用率L(m，T)是备件配置数量的减函数。
需要说明的是，利用式（7）还可以得到备件利用率的积分表达式：
该表达式正是文献［12］给出的结论。
利用备件利用率的概率模型及其性质，可以方便地分析备件利用率的取值范围，并用于分析备件利用率的工程意义及其适用范围。
3.1 备件利用率的上限及工程意义
结论3：在给定备件配置数量m时，其备件利用率L(m，T)满足如下不等式：
进一步，为方便估计备件利用率，上述不等式可简化为
事实上，由于备件保障概率 P(m-1，T)＜P(m，T)，由式（2）可方便得到不等式（9）。对于不等式（10），考察式（6），取该式右边的前三项得到不等式（10）。显然，在备件的平均故障数给定的条件下，利用不等式（10）可方便地估计出备件利用率的上限。
结论3表示的工程意义是：在给定的保障任务时间内，当保障对象的平均故障数λT较小时，其对应的备件利用率也较小（如表1所示）。
表1 不同备件配置数与不同平均故障数下对应的备件利用率上限值
利用结论3可以较好地解释随舰备件利用率低下的原因。对于随舰备件而言，根据装备可靠性的相关统计结果［17］来看，在大多数装备所配备的备件中，半数以上备件在一年内的平均故障数λT小于0.1，因此，对于半数以上装备的随舰备件而言，其备件利用率将低于9.52%。这说明目前随舰备件利用率统计结果偏低的现象不是偶然现象。随着装备可靠性水平的不断提高，其随舰备件利用率将会越来越低。
通过上述分析可以看出，在制定随舰备件配置方案时，应优先配置对装备战备完好性有较大影响的备件，在有多个随舰配置方案的情况下，备件利用率可作为辅助指标用来比较不同方案的优劣。
3.2 备件利用率的下限及其工程意义
由式（5）可知，在给定备件平均故障数 λT的情况下，随着备件数量的增加，备件利用率将随之下降。即当备件数量为m时，L(m+1，T)是备件利用率L(m，T)的一个下限，同时有如下不等式：
上述结论表示的工程意义是：在给定的保障任务时间内，当保障对象的平均故障数λT较大时，其对应的备件利用率也应很大。
根据国军标GJB4355-2002可知，当λT≥5时，对于给定的备件保障概率p，其对应的备件配置数为
其中up为标准正态分布的上分位数。此时，备件配置方案所对应的备件利用率应满足如下不等式
不同保障概率与不同平均故障数下对应保障方案的利用率下限值见表2所示。
表2 不同保障概率与不同平均故障数下对应保障方案的利用率下限值
通过上述分析可知，当备件的平均故障数较大时，其对应备件配置方案的备件利用率也较大。如对于舰船备件仓库而言，尽管其单个部件的平均故障数较小，但由于保障对象的数量较多，因此，备件的平均年度故障数很大，即周转备件的消耗量很大，对应的周转备件利用率将很大。在此情况下，周转备件利用率不仅是考察库存舰船周转备件是否合理的重要指标，而且还可通过备件保障概率与利用率的综合权衡，优化舰船周转备件筹措方案，有效提高舰船备件保障效益。
尽管备件利用率的概率模型（2）计算简单，但由于涉及到不同备件数量情况下的备件保障概率，给工程使用带来不便，为此，本节将给出备件利用率的工程估计方法。
4.1 备件利用率的工程估计
取备件利用率的上下限，即式（9）和式（11）的平均值接近备件利用率L( )m，T 。令
在工程实际使用过程中，可以使用保障概率要求 p近似实际保障概率P( )m，T 计算备件利用率，当备件平均故障数λT较大时，可以使用式（12）计算备件配置数，此时工程估计为
4.2 工程估计的数值分析
给定平均故障数和备件保障概率，由式（14）可以得到利用率的工程估计结果，选择备件的平均故障数分别取5、7、9……等，备件保障概率分别选择常见的0.7、0.8、0.85、0.9、0.95，具体数值计算结果见表3。在计算备件利用率的精确值和工程估计结果时，选择的备件配置数量是由式（12）计算后向上取整，误差数值为利用率精确值与工程估计值数值差的绝对值。
表3 平均故障数大于5时备件利用率的工程估计及其误差
从表3计算结果可以看出，备件利用率的工程估计的误差较小，精度较高，适用于实际备件保障活动的需要，尤其在常见的备件保障概率0.8、0.9时，其误差均不大于0.029，这说明工程估计方法具有较高精度。
利用备件利用率的工程估计式（14），可以容易分析备件的保障概率、利用率和平均故障数之间的相互关系。在给定备件保障概率要求p的情况下，对于不同的平均故障数λT，当备件平均故障数λT＜5时，由式（2）计算备件利用率，当备件平均故障数λT≥5时，由式（14）计算备件利用率。
设某通用件的MTBF为50000h，装机数为42个，年度工作强度为6500h，因此，该通用件在1年、2年和3年的平均故障数分别为5.46、10.92、16.38。在给定不同保障概率的情况下，其对应的备件配置数量，以及该配置方案所对应的实际备件保障概率和利用率如表4所示，其中配置数为式（12）向上取整得到，利用率由式（14）计算得到，在配置数量相同的条件下取利用率的最大值。
表4 备件保障概率与利用率之间的均衡分析
在规划备件供应保障时，应在确保备件保障概率不低于一定程度的基础上，使得备件配置达到的保障概率要求与利用率的乘积达到最大。按此原则，可以初步确定该通用件的配置方案为1年的配置数为8；
2年的配置数为14；
3年的配置数为20。此时备件配置方案的保障概率在0.8左右波动，利用率在0.71～0.84之间波动。
本文在备件寿命服从指数分布的假设下，对舰船装备备件利用率的概率模型及其工程估计方法进行研究。首先，从备件利用率的统计定义出发，建立了备件利用率的概率模型，给出了备件利用率与备件保障概率之间的定量关系；
其次，对备件利用率的变化规律进行分析，由备件利用率变化上限揭示出随舰备件利用率低这一事实，由备件利用率变化下限得出平均故障数较大时备件利用率也会较大的结论；
进而，将备件利用率与备件保障概率相联系，给出利用率的工程估计方法，通过数值计算的方法分析了工程估计方法的近似精度，为工程使用提供依据；
最后，通过实例分析说明工程估计方法的应用场景及工程意义。