黄书棋，王天浩，梁海兰
(福州大学数学与统计学院，福建 福州 350108)
任意给定两个紧T2拓扑空间X，Y，用C(X)，C(Y)分别表示这两个拓扑空间的实值连续函数代数，则X与Y同胚当且仅当C(X)与C(Y)代数同构(或环同构)[1].这意味着当一个拓扑空间为紧T2拓扑空间时，该拓扑结构能由其上的实值连续函数代数唯一确定.类似地，若任意给定两个紧光滑流形M，N，令C∞(M)，C∞(N) 分别表示这两个流形的实值光滑函数代数，则M与N微分同胚当且仅当C∞(M)与C∞(N)同构；
若给定两个仿射代数簇X，Y，令K(X)，K(Y)分别表示这两个代数簇的坐标环，则X与Y代数簇同构当且仅当K(X)与K(Y)同构[2].以上几个经典结论都体现了以下重要的事实和共性：
在研究许多重要的空间类的时候，若想同构地去分类这些空间，往往可以等价地归结为去分类其上的某种保持空间结构的函数代数的结构.鉴于此，将给出“k-结构空间”和“k-结构空间范畴”的概念，直接从函数代数的角度去定义空间结构，详细讨论其基础理论框架，从更一般的角度去解读以上的共性， 并给出若干有趣的应用.首先，为了讨论方便，回顾一下以下几个基础定义.
定义1设C为范畴，A,B∈ob(C)，f,g∈MorC(A,B)，称态射e:E→A为态射对(f,g)的等值子，若其满足：
1)f∘e=g∘e；
2) 对任意的态射e′:E→A满足f∘e′=g∘e′，存在唯一的态射h:E′→E，使得e′=e∘h[3].
定义2称态射c:B→C为态射对(f,g)的余等值子，若其满足：
1)c∘f=c∘g；
2) 对任意的态射c′:B→C′满足c′∘f=c′∘g，存在唯一的态射r:C→C′，使得c′=r∘c[3].
定义3设X为拓扑空间，称X为完全正则空间，若对X中任一x与其邻域U，存在连续映射f:X→[0, 1]，满足f(x)=0与f(Uc)=1[4].
定义4称(X, I)为不可约空间，若X不能表为两个真闭子集的并[5].
性质1一个空间是不可约的，等价于其不能表为有限个真闭子集的并.
定义5令k为域，X为集合，A为kX的一个含幺子代数，则称(X,A)为一个k-结构空间.为方便起见，在A显然确定时，将(X,A)简记为X.
定义6已知(X,A)，(Y,B)为k-结构空间，称一个从X到Y的映射f为一个k-态射，若满足任取φ∈B有：φ∘f∈A.
性质2恒等映射为k-态射.
性质3若f为一个从X到Y的k-态射,g为一个从Y到Z的k-态射，则g∘f为从X到Z的k-态射.
以上两性质是显然的，表明全体k-结构空间及其之间的k-态射构成一个范畴，称为k-结构空间范畴.在下一节中，将会详细探讨k-结构空间范畴的基本性质和一些例子，并讨论其子结构和商结构的相关泛性质.
定义7若(X,A)为一个k-结构空间，对Ω⊂A，定义Z(Ω)={x∈X:f(x)=0, ∀f∈Ω}.
注：Z(Ω)即为Ω的零点集.为方便起见，将Z({f})简记为Z(f).
性质4令(X,A)，Z(Ω)定义如上，则{Z(Ω):Ω⊂A}满足闭集三公理:
1)Z(1)=Ø，Z(0)=X；
3)Z(Ω1)∪Z(Ω2)=Z(Ω1Ω2)，这里，Ω1Ω2={fg:f∈Ω1,g∈Ω2}.
由以上性质可知，{X(Ω):Ω⊂A}构成一个拓扑，称其为X的关于A的Zariski拓扑[6]，记为IA, 下记Uφ=X(φ)，其中φ∈A，则(X, IA)以{Uφ:φ∈A}为拓扑基.
定义8若X为拓扑空间，A为kX的一个含幺子代数，称X具有A-完全正则性，若任取x∈X, 及任取一个不含x的闭集F，都存在φ∈A，使得φ(x)=a,φ(F)={b}，其中：a≠b.
若在以上定义中，令a=1，b=0，则此时定义出的A-完全正则性与上述定义等价.
性质5若(X,A)为一个k-结构空间，则(X, IA)为A-完全正则空间.
证明 任取x∈X, 及不含x的闭集F，则存在Ω⊂A，使得F=Z(Ω)，故存在f∈Ω使得f(x)≠0，但f(F)=0，即证.
若X为拓扑空间，Cb(X)表示有界连续实值函数代数，则X为Cb(X)-完全正则⟺X为完全正则.
性质6若(X, I)为完全正则空间，则X的拓扑与Cb(X)-Zariski拓扑一致，即I=ICb(X).
再证：
I⊂ICb(X)，任取U∈I，任取x∈U，由X完全正则知，存在f，使得f(Uc)=0且f(x)=1，则x∈Z(f)c⊂U，其中Z(f)c开于ICb(X)，故U开于ICb(X).即证.
性质7若f:(X,A)→(Y,B)为态射，则f:(X, IA)→(Y, IB)连续.
证明 任取φ∈B，由f为态射，有φ∘f∈A，故f-1(Uφ)=Uφ∘f∈IA.
由以上性质，则得以下函子：
(X,A)|→(X, IA)
性质8若(X,A)为k-结构空间，则有A为整环⟺(X, IA)不可约.
证明 首先：
设Uφ≠0,Uψ≠0, 其中，φ,ψ∈A, 则φ≠0,ψ≠0, 由A为整环，则φψ≠0,Uφψ≠0.
其次：
若A不是整环，则存在φ,ψ∈A, 满足φ,ψ≠0，且φψ=0此时，Uφ∩Uψ=Uφψ=Ø, 而Uφ≠Ø,Uψ≠Ø 这与(X, IA)不可约矛盾，即证.
定理1在完全正则空间范畴为拓扑空间范畴的满子范畴情况下，考虑以下两函子：
(X, I)→(X,Cb(X))
(X,A)|→(X, IA)
则θ∘τ=I(恒等函子).
注：以上定理表示把完全正则空间看成R-结构空间，在范畴意义上没有损失任何信息.
定义9设A为kX的一个含幺子代数，(X,A)为一个k-结构空间，Y⊂X，定义A|Y={φ|Y:φ∈A}，则(Y,A|Y)为一个k-结构空间，称为A的k结构子空间.
性质9k-结构空间范畴中，含入映射i:Y→X为等值子.
证明 显然含入映射i:Y→X为态射.
性质10令i:(Y,A|Y)→(X,A)为含入映射，则i:(Y, IA|Y)→(X, IA)为同胚嵌入.
定义10称(X,A)→(Y,B)为同构嵌入，若存在(Y,B)的k-结构子空间与(X,A)同构.
推论3若f:(X,A)→(Y,B)为同构嵌入，则f:(X, IA)→(Y, IB)为同胚嵌入.
推论4同构嵌入是等值子.
定义11称(X,A)→(Y,B)为商映射，若B={φ∈kY:φ∘f∈A}，此时商映射为态射.
性质11商映射为余等值子.
证明 设f:(X,A)→(Y,B)为商映射，考虑两个映射P1,P2:Rf→(X,A)，其中：Rf为由f导出的等价关系，P1,P2分别为向第一个，第二个分量的投影映射.则显然有：f∘P1=f∘P2.
下证泛性质.任取(Z,C)及g:(X,A)→(Z,C)满足g∘P1=g∘P2，则存在唯一映射h:(Y,B)→(Z,C)使得g=h∘f.接着证h为态射即可.任取φ∈C，要证φ∘h∈B，由f为商映射，只需证明φ∘h∘f∈A，而φ∘h∘f=φ∘g，由g为态射，且φ∈C，得φ∘g∈A，即证.
