刘 艺， 赵思林
(1.宜宾学院 理学部， 四川 宜宾 644000；
2.内江师范学院 数学与信息科学学院， 四川 内江 641100)
教学原则是为提高教学质量而提炼出来指导和管理教学方法、设计和规范教学流程的方法论知识，是连接教育教学原理(包括教学规律)与教学方法手段的桥梁.提出新的教学原则是落实教育教学政策的必然要求，是体现和实现教学目标的技术保障，是规范教育教学活动的关键之举.教学原则需依据教育教学原理在学界早有共识，但教学原则必须依据并落实国家的教育教学政策法规则易被淡化.具有一定普适性的教学原则的研究较早.两千多年前，中国伟大教育家孔子就提出了启发式、因材施教、循序渐进等沿用至今的教学原则；
古希腊的柏拉图则提出了类似于“启发式”的“产婆术”教学原则.近现代以来，17世纪的夸美纽斯(在《大教学论》中提出37条教学原则)、裴斯泰洛齐(提出自然主义教育原则)、乌申斯基(提出教育民族性原则)，19世纪的赫尔巴特(提出教育性教学原则)，20世纪的凯洛夫(提出自觉性、系统性、直观性、巩固性和量力性5条教学原则)、赞可夫(提出高难度、高速度、理论主导、理解学习和全体发展5条教学原则)、维果斯基(提出“最近发展区”理论)、泰勒(在《课程与教学的基本原理》中提出目标性、学习性、组织性、评估性4条原则)、杜威(提出从做中学原则)、布鲁纳(提出结构、动机、程序、反馈4条教学原则)等教育家，都提出过有一定普适性的教学原则.由于现代数学的兴起和蓬勃发展只有300年左右，数学教学原则的研究比一般教学原则的研究相对滞后.国外的数学教育家如斯托利亚尔、奥加涅、波利亚、弗赖登塔尔等，中国的数学教育家如曹才翰、丁尔升、张奠宙、张景中、张楚廷、史宁中、章建跃等，都提出了一些富有启发性的数学教学原则.数学教学原则是数学教育工作者为达到预期目的应遵循的基本要求和指导原理[1]，它反映了教学规律，体现着教育方向和目标，规范了课堂教学活动，从而有利于提高教学质量.因此，数学教学原则是为提高数学教学质量而提炼出来指导数学教学的方法论知识和数学教学应遵循的行为准则.很显然，数学教学原则不应一成不变，而应与时俱进.数学教学原则的研制如何做到与时俱进呢？这是值得研究的课题.具体地说，新时期制定的数学教学原则如何在数学教学中落实“建设教育强国”“立德树人的根本任务”等党的教育政策与方针，如何落实最新版数学课标的理念，这些问题为数学教学原则的研究与制定提出了新的更高要求.
19世纪至20世纪，斯托利亚尔、奥加涅、波利亚、弗赖登塔尔等数学教育家系统地研究了数学教学原则.我国关于数学教学原则的研究在1980—2010年颇受关注，但不少研究带有强烈的目的性、实践性和主观性[1].之后，在不同时期不同背景的影响下关于数学教学原则体系的研究，虽成果较多，但未形成共识.
2.1 用结构层次观点构建的数学教学原则
用结构层次观点构建的数学教学原则体现了数学教学原则的结构性和层次性，在数学教学原则体系中有一些属于上位原则，在这些上位原则之下构建其下位的教学原则.但是这类原则体系中试图包揽一般教学原则或数学教学的所有范畴.
斯卡特金批评了传统教学论的教学原则不分层次的做法，他将教学原则体系分为两个层次：第一层次是跟教学的世界观方面有直接联系的、决定着教学的思想方向的原则……；
第二个层次是有关教学的技术程序方面的原则，包括直观性原则、可接受性原则、巩固性原则等[2].中国的德育和情感态度价值观的教学目标与斯卡特金的第一层次原则有相似之处.曹才翰等[3]把教学原则分成三个层次：一是目的性层次，包括3条原则；
二是准备性层次，包括8条原则；
三是技术性层次.张楚廷[4]将数学教学原则分为两个层次：一是数学教学中的一般教学论原则，二是反映数学教学学科特征的特殊原则.周春荔等[5]将数学教学原则分为包括“数学思维揭示与数学认知建构相结合原则”等三个层次.杜玉祥等[6]从五个角度提出了数学教学原则体系：一是方向目的原则，具体包括德育为首原则、培养创新人才原则等；
二是教的原则；
三是学的原则；
四是合作原则；
五是技术策略原则.杜玉祥提出的方向目的原则，既强调智力因素的发展又强调非智力因素的培养，这些教学原则对当下的数学教育教学仍有指导意义.但也存在一些问题：一是这些教学原则比较泛化，缺乏数学的学科特点，似乎其他学科也适用；
二是5个一级原则之下每个分别有5个二级原则，导致教学原则的条目繁多、内容庞杂，实难记忆.
2.2 用非结构层次观点构建的数学教学原则
用非结构层次观点构建的数学教学原则，虽没有呈现出一个数学教学原则体系，但有些教学原则的提法新颖、概括性强，且具有启发性和教学指导意义.
波利亚[7]提出既指导学生学习又指导教师教学的3条原则：主动学习原则，最佳动机原则和阶段循序原则.这些原则需要对学情有充分了解，对学习过程有必要的预设.
斯托利亚尔[8]认为，数学教学一般原则即为“教学的科学性和直观性，学生自觉性和积极性，知识的巩固性和个别指导”.易中建[9]提出数学课堂应坚持“目标、结构、自然、情感”这4条基本原则.这些原则均未突出“数学”的学科特征.李光树[10]根据素质教育的内涵和要求，提出8条数学教学原则：传授数学知识与促进学生素质全面发展相结合、归纳与演绎相结合、理解数学知识形成过程与掌握数学知识结果并重、理解巩固与探索创新有机结合等，并逐一给出贯彻这些原则的基本要求.
弗赖登塔尔[11]在《作为教育任务的数学》中提出四条数学教学原则：苏格拉底方法原则，再创造原则，数学化原则，严谨性原则.其中的“数学‘再创造’原则”“数学化原则”已为学界普遍认同.“数学‘再创造’原则”倡导学生模仿性创造，这可能忽视对中学生的原创精神和能力的培养.弗赖登塔尔的这些观点对后来中国数学教学原则的研究产生了影响.如，张艳霞等[12]提出4条数学教学原则：学习数学化的原则，适度形式化的原则，问题驱动的原则和渗透数学思想方法的原则.张艳霞等提出的数学教学原则源于数学知识的发生过程，学生的数学认知规律和教师的数学教学经验.张敏等[13]在分析上述四条数学教学原则的基础上，给出了三类数学教学原则：数学现实原则、数学化原则、符号运算与符号理解相统一原则；
演绎推理和合情推理相统一原则；
数学三维目标相统一原则.
张红[14]提出新课改背景下的6条数学教学原则，其中的“数学双基渗透思想方法的原则”“教师合理引导和学生探究发现相结合的原则”等，对教学有较大的指导作用.这里的“学生探究发现原则”强调了“探究”是“发现”的重要方法，但“数学发现”的方法还很多，比如“观察”“讨论”“反思”“实验”“推理”“联想”“猜想”“想象”“灵感”等，都可导致“数学发现”.因此，“学生探究发现原则”可拓展为“数学发现创新原则”.
2.3 存在的问题
已有的数学教学原则(体系)都在一定程度上反映了数学的教学规律和特点.但也存在一些问题：一是确定数学教学原则的政策依据不清楚，如未全面体现“立德树人是教育的根本任务”等要求；
二是“未能确定教学原则的范围和合理的统一划分标准[15]”，导致教学原则的名称、条目、层级等不统一问题；
三是虽重视“数学‘再创造’原则”，但对培养学生的数学原创能力(精神)不够重视.这些问题是值得探讨的.
3.1 确定中学数学教学原则的政策依据
确定数学教学原则的政策依据主要有三个重要文件(精神)：一是党的教育方针；
二是《中学教师专业标准(试行)》(以下简称《中教标准》)；
三是新修订的两个数学课程标准，即《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》和《义务教育数学课程标准(2022年版)》.党的十八大报告提出“把立德树人作为教育的根本任务”“全面实施素质教育，培养德、智、体、劳、美全面发展的人”的教育方针.仅从字面上来解读“立德树人是教育的根本任务”，至少有下面几种理解：一是把“立德”与“树人”并列起来，表明“立德”与“树人”有相对独立性；
二是把“立德”排在“树人”之前，说明“立德”的重要性和“德”对“人”培养方向的指引性；
三是只有把“立德”与“树人”统一成“立德树人”，才是我国教育所培养的理想人才的标准，即“德才兼备”，在这里，“立德树人”既是过程又是路径，“德才兼备”是“立德树人”的结果.《中教标准》[16]明确规定中学教师要“树立育人为本、德育为先的理念”“注重结合学科教学进行育人活动”.“立德”与“树人”相互影响、相互联系，但它们也有相对独立性[17].本文主要从“立德”和“树人”相对独立性的视角进行研究.因此，中小学数学教学原则应体现“数学式立德”和“数学式树人”基本理念.新修订的两个数学课程标准提出的“养成独立思考的习惯和合作交流的意愿，发展实践能力和创新精神，增强社会责任感，树立正确的世界观、人生观、价值观[18-19]”主要是“数学式立德”的要求，“掌握‘四基’，发展数学学科核心素养[18-19]”主要是“数学式树人”的要求.由此，提出了基于“立德树人”的数学教学原则(见图1).
图1 立德树人视角下中学数学教学原则
3.2 侧重于数学式立德的教学原则
“育人为本、德育为先”，德育作为“五育”之首，决定了人才(学生)培养的正确方向.因此，重视德育是重要的数学教育观念，即“数学式立德”.数学式立德是以数学的方式明德、学德、修德、用德的数学德育过程.“德”包括道德品质、理想信念、科学的态度、人生价值追求等.在数学教育中培养和发展学生的数学价值观念是进行德育渗透的核心意蕴，由此可归结出“数学价值导向原则”.“以文化人、以文育人”亦是数学式立德的重要途径.数学文化作为一种科学的文化、理性精神的文化、发现与创新的文化、数学历史故事的文化、真善美的文化，具有以文化人、以文育人的强大功能.因此，数学教学不仅是数学知识的理解与内化、数学方法的练习与熟练、数学思维的体操与锻炼、数学思想的感悟与领悟，更应是数学文化的浸润，由此可归结出“数学文化浸润原则”.故数学价值导向原则、数学文化浸润原则侧重于数学式立德.
3.2.1 数学价值导向原则
培养学生的数学核心价值观念是数学教育的重要任务.学科核心价值观的教育蕴藏在每一门学科教育教学活动之中.数学核心价值观的功能在于引导学生树立爱国情怀和通过学好数学为国争光的理想；
形成自主探索、坚持真理、大胆质疑、严谨求证的科学态度；
激发学生学好数学的动机和兴趣，养成自主、自律、自强的好习惯；
通过数学创新活动发展实践能力和创新精神.
数学核心价值观念的形成与提升的关键在于通过数学方式实现“五育”，其核心是进行数学德育或德育渗透.因此，实施数学价值导向原则有以下策略：①以德“立”德.一是以数学家爱国之德“立”德.以我国著名数学家华罗庚、苏步青、丘成桐等的爱国之情、报国之志，“立”学生的爱国之德.二是以数学内蕴之德“立”德.如由数学内蕴物质观点(数学起源于现实)、辩证统一观点、运动变化观点(用函数表征)、事物有规律观点、规律可认知观点，帮助学生逐步形成和建立“世界的物质性”“物质的运动性”“运动的规律性”“规律的可认知性”等唯物辩证观点；
以数学中大量的运算规则、对应法则、判别准则等，培养学生的规则意识，由此延伸可培养学生的法纪意识；
以数学的工具理性价值，培养学生的服务意识；
以数学建模活动和统计调查，培养学生的实践创新能力.②以数学饱满学习精神和优良学习方法“立”学生学习习惯之德.如培养学生刻苦学习，勤思善想，独立思考，理性判断，钻研难题，书写规范等良好学习习惯.③以教师之德“立”德.数学教师之德包括数学学科之德、高尚师德和完美人格等，只有教师以德立身、施教，才能实现“立德树人”总体目标.
3.2.2 数学文化浸润原则
数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分，体现了数学的历史性、艺术性、科学性和人文性.因此，数学文化浸润原则要讲好数学史、数学美、数学理性精神和数学人文价值.数学史是在数学产生、发现、创造、发展和完善过程中记录下来的数学史料，是学生可以倾听数学家探索创新精神的精彩故事会，是传播数学思想文化的最优科普读本，是滋养学生理性精神的“春风细雨”.数学的发明创造并非只有逻辑推演，同时也包含着直观与猜想，而直觉与猜想往往又与人的审美联系着[20].现行数学课程标准指出，要重视学生在数学的学习知识、理性思考、逻辑推理中领会其审美价值和审美思想[18-19].数学的抽象性决定了数学概念与推理的严谨，数学的严谨性体现了数学的基本精神——理性精神.数学的人文价值决定着数学教学的情感与价值目标，对增强学生对数学价值的认同有重要意义.
实施数学文化浸润原则有以下策略：①以史育人.数学史是数学文化的文本载体，也是数学式立德的重要载体.教师应广泛涉猎数学历史素材，将史学形态转变为教育形态，依据历史发展顺序和知识演绎逻辑的双重线索来设计教学，揭示数学史的宏观历史，引导学生经历数学家思考与探究的过程，加深学生数学知识文化的理解，增加学习数学的兴趣[21].②以美育人.数学是追求数学美的科学艺术.教师充分挖掘数学内容中的美育因素并将其恰当地融入课堂教学中，如函数符号的简洁美，圆锥曲线标准方程等数学公式的和谐统一美；
运用现代信息技术展现几何图形美，如数学分形美、函数周期美、单位圆的美、动点轨迹的美等，通过数学审美立美的体验，发挥数学美的育人功能.③以理服人.此处之“理”是“真理”和“理性”的简称.服从真理是人类文明的重要标志，坚守理性是数学教育的基本要求.坚持真理、逻辑思维、批判性思维是理性精神的三大支柱.数学文化是一种概念文化、符号文化、理性文化和稳定文化，这几种文化分别与数学概念的纯粹性、数学符号的简洁性、逻辑思维的严谨性和数学结论的确定性相对应.数学教学应在“真理”和“理性”的驱使下，让人们学会“玩概念”、用逻辑、会思维、定趋势.④以文化人.“以文化人”是以数学文化或数学人文精神育人的简称.数学人文的精髓依附在数学知识和方法的产生、发展和应用的过程中，教师应挖掘数学知识的文化背景、探索数学方法的应用途径，促使学生在适当的社会交互中建构数学文化观念，提升学生学习数学的情感态度与价值认同感.
3.3 侧重于数学式树人的教学原则
数学式树人有明确的树人目标，即发展数学学科素养，特别是发展数学核心素养，由此提出“数学素养发展原则”；
数学式树人应关照学情，特别是应依据学生的学习逻辑和认知逻辑开展数学教学活动，由此提出“教育数学实施原则”；
数学学科的难度决定了学好数学需要学生深度学习，其表征之一即数学知识学习的理解性、建构性和系统性[22]，由此提出“数学认知建构原则”；
数学是一门充满了发现与发明的学科，数学创新人才的标志是能用数学的方式(如用数学的抽象、数学的思维、数学的语言)去发现问题、认识问题、表征问题、探究问题和解决问题，培养数学创新人才需要帮助学生激活心智、开发心智，并不断提高心智能力和心智水平，为大力培养数学创新人才，提出“数学发现创新原则”.故数学素养发展原则、教育数学实施原则、数学认知建构原则、数学发现创新原则侧重于数学式树人，即用数学的方式培养人才(学生)，特别是培养数学创新人才.
3.3.1 数学素养发展原则
数学学科教学的主要目的是让学生获得数学学科素养，特别是获得数学核心素养.2020年修订版《普通高中数学课程标准》和2022年版《义务教育数学课程标准》都把培养和发展学生的数学核心素养作为最为重要的教学目标.由于数学学科核心素养的支柱是数学素养，因此，把“数学素养发展原则”作为数学学科教学的目标方向性原则是顺理成章的事.史宁中教授把“数学核心素养”或“数学素养”高度概括为数学的“三会”，即会数学抽象、会数学思维、会数学语言.数学的“三会”素养具有简单易懂、好记好用的突出特点，得到了中小学数学一线教师的普遍认可.以数学核心素养为导向的课程目标指出要使学生获得必需的“四基”“四能”，发展理性思维和科学精神.因此，“数学素养发展原则”是数学式树人中的目标导向性原则.
实施数学素养发展原则有以下策略：①培养数学“三会”素养，其路径有3条：一是培养数学的眼光，即引导学生从实际背景(问题情境)或物理背景中看出并抽象出数量关系或空间形式，从各类问题情境中抽象出数学概念，引入数学符号，形成数学问题，并建立数学模型，这个过程即为“情境—概念—符号—问题—模型”，可简称为“情境—模型化”；
二是培养数学的思维，其核心是培养逻辑思维，即教学生学会用逻辑思维方法探究并解决数学模型，进而用逻辑思维方法建构数学知识体系，这里所说的逻辑思维方法包括引入概念和符号、合情推理得猜想、猜想对错靠证明，因此可通过逻辑思维的三大基本形式(即概念、判断和推理)的逻辑运演来培养学生的逻辑思维能力；
三是培养数学的语言，即引导学生有意识地用数学语言(概念语言、符号语言、推理语言、图表语言)客观描述、多元表征和清晰解释现实世界或问题情境，数学语言适合在听课(听)、讨论(说)、阅读(读)、思考(想)、交流(讲)、书写(写)等活动中训练.②实施系统化的单元教学.数学单元教学是融合“四基”、训练“四能”、发展“六核”的重要抓手，是链接“四基”到“四能”“四能”到“六核”的桥梁.数学单元教学具有“七化”特点，即教学设计整体化、单元选择主题化、碎片知识系统化、核心知识焦点化、基本思想全息化、问题解决策略化、教学时间节省化.③引导学生自组织学习.研究表明，数学学习是一个知识内化、方法迁移、思想感悟、系统集成的自组织过程.学习数学的根本目的是获得数学素养，数学素养是一个由多要素构成的复杂的动态系统，其养成具有自组织性，即数学学习不仅需要教师、学习环境、学习共同体等他组织，更需要以独立思考为数学学习根本特点的自组织[23].激发学生学习数学的自组织动机、训练自组织方法、自觉自组织迁移、实现自组织监控，是学生生成数学核心素养的基本策略.
3.3.2 教育数学实施原则
“学术形态”的数学是数学家们的创新成果，充分体现了数学高度的抽象性、逻辑的严谨性、知识的系统性.对学生的学习和认知而言，数学教学实践表明，“学术形态”的数学课学生并不喜欢，甚至会遭到学生内心深处的强烈抵制.这就要求数学教师认识并处理好“数学知识逻辑与学生认知逻辑和学习逻辑”的关系.对此，数学知识逻辑的文本表述(教材)与教师的课堂教学表达都需要关照学生的数学认知逻辑和数学学习逻辑.即，教师要把数学讲准确、讲简单、讲得幽默有趣，让学生易学(容易学习)、易懂(容易理解)、易会(容易学会或掌握)，学生能够较快建构起自己的数学认知结构和知识体系.把数学讲准确、讲简单、讲得让学生易学易懂，这正是张景中先生大力倡导的“教育数学”的初心与任务.
落实教育数学原则有以下策略：①运用张景中[24]提出的“教育数学”三条原理.即在学生头脑里找概念，从概念里产生方法，方法要形成模式.“在学生头脑里找概念”是指数学教学应基于学生已有概念系统中的经验(包括数学观念)；
“从概念里产生方法”是指以数学概念(定义)为认知的起点提炼出数学方法(含算法)，演绎出数学知识体系；
“方法要形成模式”是指要把学生习得的数学方法特别是数学基本方法内化为学生的数学认知模式、解决问题的数学方法论模式.②运用实施教育数学的“五化”策略[25].一是背景化，即教师要讲清知识是从哪里来的；
二是探究化，即教师要精心设计数学问题串，让学生参与知识的“探”的过程(弄清是什么)、知识的“究”的过程(弄清为什么)；
三是经验化，即教学要基于学生的经验，创造条件让学生尽可能地同化学习；
四是迁移化，即在学生理解数学的基础上运用数学方法去分析问题和解决问题；
五是直觉化，即教师和学生要运用数学发现的心理机制——“经验—直觉—发现”机制，大胆创新，善于创新.
3.3.3 数学认知建构原则
数学教学最终指向数学学习，学习在于理解，理解的实质是建立新旧知识之间的本质联系，联系的数量和牢固程度在于数学课程内容结构及学生认知心理结构上耦合关联.数学学习可界定为“学生主动建构数学知识的意义的过程”.此界定要求学生：学习动机具有积极性，学习过程具有主动性，学习方法具有建构性，学习结果具有意义性.从数学课程内容的学习来看，学生面对“现实情境”建构“现实问题”，又从“现实问题”建构“数学问题”，再从“数学问题”建构“数学知识”，最后将“数学知识”用于“问题解决”.因此，学生的数学认知建构过程可归结为：现实情境—现实问题—数学问题—数学知识—知识迁移.从数学课程内容的教学来看，教师对数学课程内容的组织要体现情境性和整体性.
落实数学认知建构原则有以下策略：①数学教学应充分重视学生学习数学的自主性，教师应创造时机让学生先阅读、先思考、先练习、先讨论，这正是所谓的“先学后教”.②数学教学应充分体现数学思维的活动性、独立性，数学思维的本质是学习者对问题与问题解决的认知加工，认知加工需要学生主动的、自觉的、自动的独立完成.③在新课教学初期，采用“情境性教学”，这有利于学生“深情”投入，实现认知图式的塑造和强化.④在单元教学(复习)时采用“整体性教学”，这有利于学生“深入”思维，实现认知结构的网络化生长.此外，针对数学核心概念、普适方法、重要思想、问题解决等的教学，也可采用单元整体教学，这有利于学生建构系统的数学知识.⑤数学认知建构的本质就是要突出一个字，即“找”，其基本样态有：在情境观察中找问题，在问题探究中找知识，在知识应用中找算法，在算法优化中找规律.
3.3.4 数学发现创新原则
培养学生的创新意识和创新能力是数学教育的崇高目标和重要任务，是落实我国建设创新型国家的根本要求.我国至今尚未培养出获得菲尔兹奖的本土数学家的事实表明，我国的数学创新教育比较薄弱，造成这一事实的原因有很多，一个重要的原因可能是我国数学教学并未真正把培养学生的数学创新能力放在重要地位.指向数学发现和“数学再创造”的教学是培养数学创新人才的重要策略与有效方法.对中学生而言，数学学习的发现或创造主要是指“再创造”[26]，而不是指数学家的原创.但也有数学家在中学时代就取得了具有原创性的研究成果，如高斯在高中时解决了千年几何作图难题(即正十七边形的几何作图)而决定报考数学系；
伽罗华研究五次及以上方程无求根公式解而创立了群论；
华罗庚十九岁时发表了第一篇著名数学论文：《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》.这些事例说明，中学生有可能做出原创性的数学研究成果.因此，中学阶段不认真去培养学生的发现创新能力，很可能会抑制中学生发现创新能力的发展，错失培养中学生发现创新能力的时机.
实施数学发现创新原则有以下策略：①激发数学发现创新的动机.要让学生认识数学的发现和创新可以为国争光，让学生在中小学时期就树立学好数学、研究数学、发现创新数学的崇高理想，从而激发学生创新的主体性、能动性和独立性.②大力培养学生数学创新思维，其策略有：培养数学创新人格，打牢数学创新基础，训练数学创新方法，营造数学创新环境等.其中，数学创新方法包括经验创新法、合情推理法、直觉猜想法、创造想象法、审美立美法等.③运用有利于数学发现创新的教学方法.如，布鲁纳提出的发现教学法，弗赖登塔尔推崇的数学“再创造”教学法，新课程改革大力倡导的问题探究教学法.④课堂上教师要留给学生数学发现与创新的机会、时间、空间.⑤教师应努力提升自己的数学发现创新素养，给学生树立良好榜样.
此外，数学与信息技术深度融合原则，师生互动原则，数学学法指导原则，数学教学评价原则等，也值得研究.还需注意，数学教学原则的理论研究与教学实践都不应游离于一般教学原则(如直观性原则、因材施教原则、理论与实践相结合原则等)之外，而应做好一般教学原则与数学教学原则的协同与统整，以发挥出它们极大的应用价值.
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