袁 海，夏仰球，米 良，石纯标
(1.中国工程物理研究院机械制造工艺研究所，绵阳 621900；
2.国家机床产品质量检验检测中心(四川)，成都 610200)
运动直线度是线性轴线的关键性能指标之一，基于标准尺和电容位移传感器的直线度测量方法是纳米级超精密直线度测量的基本方法。由于制造精度极限的限制，用于超精密测量的标准尺参考面直线度误差和被测线性轴自身直线度基本处于同一数量级[1]，严重影响测量精度，因此必须进行误差分离以消除参考面直线度误差对直线度测量所带来的影响。
直线度测量误差分离方法[2]包括多步法(如反转法[3]、平移法、三面互检法等)、多探头扫描法(如两点法、三点法等)以及混合法等。其中，多探头扫描法广泛应用于线性轴直线度测量误差分离，测量系统主要由探头、标准尺及安装支架组成，可靠性高、结构简单且易于集成，使用多探头扫描法测量直线度时，不用预先校核参考面被测直线的直线度，可通过误差分离算法分离出参考面直线度。
依据探头数目的多少，多探头扫描法可分为两点法和三点法。
常用的两点法有逐次两点法(sequential two points，STP)[4-5]、积分两点法[5-6]以及频域两点法[7]，其中逐次两点法在倾斜误差已知或者忽略时，能够精确重构参考面被测直线的直线度误差，但由于横向分辨率较低不适用于小行程的直线轴；
积分两点法解决了逐次两点法横向分辨率不足的问题，但是积分特性会抑制高频谐波分量，仅能对低频为主的成分进行较好的重构；
频域两点法是通过傅里叶变换来处理数据，需要对差分信号进行周期性延拓来满足傅里叶变化的条件，但忽略了调零误差的影响，且同样会丢失空间波长为采样间隔整数倍的谐波分量。
三点法也有逐次三点法[5]、积分三点法[8]以及频域三点法(three points in frequency-domain，TRPF)[9]等，与两点法类似，逐次三点法同样受制于横向分辨率，且由于多了一个探头导致调零误差对测量结果造成巨大影响；
积分三点法的积分特性对高频成分的抑制更加严重；
频域三点法在倾斜误差已知或者忽略时，通过对两组差分数据进行周期性延拓[10]，对调零误差进行补偿，可得到相应的完整频谱序列，进而获得精确的参考面被测直线的直线度。
除此之外，还有反转四点法[2]、五点法[11]、反转六点法[2]甚至八点法[11]等方法，但由于这些方法使用的传感器数量过多，受到传感器安装的影响较大，调试复杂，且其中大部分为非精确重构方法，因此不适用于超精密尺度的检测，在此不进行讨论。
多探头扫描法多种多样，每种影响因素对各种方法的影响不同，适用场合也不同，选择合适的方法尤为重要，由于探头数量越多，数据处理越复杂，带来的误差也越多，实际情况下的实施也更难以达到理想效果，所以本文重点对于两点法和三点法进行分析，而其中只有逐次两点法和频域三点法这两种理论上可实现参考面被测轴线直线度精确重构(在忽略倾斜误差的情况下)，且一个为时域方法一个为频域方法，比较具有代表性，故本文对该两种方法进行了原理阐述并且通过仿真和试验进行了基于影响因素分析的对比研究。
1.1 逐次两点法
为了方便叙述各物理量及其含义如表1所示。
表1 物理量及其含义
两点法算法模型如图1所示。
图1 两点法算法模型
当两个位移传感器的间距等于采样间隔时(即d=1时)，此方法称为逐次两点法，两个位移传感器的测量值可表示为：
m1(xn)=f(xn)+δ(xn)+c
(1)
m2(xn)=f(xn+1)+δ(xn)+S·γ(xn)+e+c
(2)
式中，c为常数。
通过两式差分消去导轨直线度误差可得：
m2(xn)-m1(xn)=f(xn+1)-f(xn)+S·γ(xn)+e
(3)
当标准尺被测面初始位置取值已知时，标准尺被测面的的形状轮廓可表示为：
(4)
1.2 频域三点法
三点法算法模型如图2所示。
图2 三点法算法模型
当使用频域三点法时，3个位移传感器的测量值可表示为：
m1(xn)=f(xn)+δ(xn)+c
(5)
m2(xn)=f(xn+d1)+δ(xn)+S1·γ(xn)+e1+c
(6)
m3(xn)=f(xn+d2)+δ(xn)+S2·γ(xn)+e2+c
(7)
m2(xn)-m1(xn)-S1·γ(xn)=f(n+d1)-f(n)+e1
(8)
m3(xn)-m1(xn)-S2·γ(xn)=f(n+d2)-f(n)+e2
(9)
设：
ki(n)=m(i+1)(xn)-m1(xn)-Si·γ(xn)
gi(n)=f(n+di)-f(n)+ei
i=1,2
(10)
为消除调零误差带来的影响，定义调零误差倾角为：
(11)
再通过以下步骤进行误差分离：
步骤1：对进行自然延拓，以满足周期要求；
(12)
步骤2：求g的离散傅里叶变换系数；
(13)
步骤3：通过差分传递函数求f(n)的离散傅里叶变换系数；
(14)
步骤4：使用a12对步骤3中的F2(k)进行补偿，同时维持F1(k)为原样，得到新的组合傅里叶变换系数；
(15)
(16)
步骤5：通过对步骤4求得的系数进行离散傅里叶逆变换求得f(n)；
(17)
1.3 直线度误差评定
对于误差分离后的参考面被测直线的直线度，利用最小二乘法对其进行评定[12]。对于分离获得的离散数据点，利用最小二乘法拟合，可以得到如下方程：
zi=kxi+b
(18)
式中，
(19)
残差计算公式如下：
εi=zi-kxi-b
(20)
最后可通过式，完成对直线度的评估：
Δ=max(ε)-min(ε)
(21)
本节将利用仿真方法分析上述的影响因素对测量系统的影响，仿真流程如图3所示，仿真参数设置如图4和表2所示。
图3 仿真试验流程 图4 预设标准尺被测直线直线度
表2 仿真分析初始化参数设置
预设标准尺基准直线度为：
(22)
2.1 传感器安装间距
频域三点法不受传感器安装间距的制约，只需要选择合适的传感器安装间距即可(即d1d2互质且N=d1·d2)，但逐次两点法的采样间隔受到传感器安装间距的制约，所以仅对逐次两点法的传感器安装间距进行分析。
由图5可知当使用逐次两点法处理数据时，传感器安装间距越小，对标准尺形状轮廓的重构程度越高，其根本原因在于，随着传感器安装间距的增大，测量系统对标准尺表面的扫描分辨率降低，传感器安装间距越大，测量系统对标准尺表面的扫面分辨率就越低，丢失的轮廓就越多。
图5 传感器安装间距的影响
但在实际过程中，由于传感器探头大小等因素导致两点法的间距不可能达到理想小的间距，过大的间距会导致其横向分辨率不足的问题难以克服。
2.2 调零误差
在实际情况下，调整多个传感器的探头使他们处于同一平面上是很困难的，各探头所在平面之间的距离定义为调零误差，调零误差在实际测量过程中是不可避免的，即使经过调试也还会存在亚微米甚至微米级别的调零误差，且难以对其进行测量，其对测量结果的影响是不可忽视的。
对于逐次两点法，由式(4)可知，在使用逐次两点法时调零误差对最终结果的影响是线性的，且调零误差越大，所带入的误差也越大，但由于误差是线性的，所以它对最后的重构结果没有影响。
对于频域三点法，在调零误差设置为e1=0.1 μm，e2=0.4 μm的情况下，如图6所示，通过仿真分析可得该情况下调零误差对最终结果带来一个幅值为0.045 μm的影响。
图6 调零误差的影响 图7 倾角差与调零误差带来的影响的关系
对于频域三点法，调零误差带来的影响与倾角差(倾角差a12=a1-a2，为两个相对调零误差与其对应间距的比值的差值)的关系如图7所示。
由图6和图7可知，在使用频域三点法时调零误差倾角差对最终结果的影响是周期性的，且倾角差的绝对值越大，所带入的误差幅值也越大，当倾角差为0时，对最终结果不造成影响。由于其误差具有一定规律，所以可以通过式(15)计算得出倾角差并对其进行相应的补偿，来消除调零误差对最后重构结果的影响。
2.3 测量噪声
为了研究测量噪声对两种方法的影响，设定调零误差e1=0.1 μm，e2=0.4 μm，测量噪声的方差(0.002～0.02) μm逐次增大，每种噪声情况下进行50次仿真得出如图8所示的误差棒图。
图8 测量噪声的影响
由图8可知，在使用逐次两点法和频域三点法分离参考面的被测直线的直线度时，其相对误差都会随着加入噪声的方差的增大而增大，频域三点法对比噪声的抗干扰能力略强于逐次两点法，其原因在于逐次两点法的可利用数据远小于频域三点法，且频域三点法采用的是两组数据的组合，相比之下也具有一定的抗干扰能力。在频域三点法中两端的不确定度通常较大，其原因在于处于边缘的形状在扫描过程中只能获得一个传感器的测量值(所以再去噪的平均处理中占不到优势)。
综上所述，在进行测量时，测量噪声不可避免，应采用适当的滤波措施来减少测量噪声对测量结果的影响。
2.4 标准尺基准直线的复杂程度
通过改变预设形状的谐波次数来改变被测直线的复杂程度，由图9可知，在使用逐次两点法时，标准尺基准直线的复杂程度越高则测量结果的相对误差越大，且对于逐次两点法，传感器之间的间距越大相对误差也会越大。根本原因在于形状越复杂逐次两点法分辨率不足的缺点越明显，在面对简单形状时，由于形状简单且平滑，逐次两点法可以凭借简单方便的操作和数据处理方法完成对其形状的重构，但一旦形状复杂，逐次两点法在两个传感器间距内的误差数据信息都被遗漏，对重构的效果影响极大，对于有突变的地方更是难以实现精确重构，这就使得逐次两点法的应用范围有了很大的局限性。而频域三点法由于不受扫扫描分辨率的限制，只要标准尺表面形状的空间波长不小于采样间隔即可完成精确重构。
图9 标准尺被测直线复杂程度的影响
2.5 探头差异性
在实际情况下，对于同一型号的传感器的不同探头，由于制造等因素，很难保证其增益系数一致，且随着使用时间的增加，同一探头的增益系数也在随之改变，设定增益系数的相对误差为1%，通过仿真对探头增益系数的影响进行分析。
对于逐次两点法，探头组合有3种情况，如表3所示。
表3 STP探头差异
由图10可知，探头差异性会对逐次两点法精度造成一定影响，1%的相对误差会引起最大5%的相对误差，且该影响很难避免，探头差异性越小，逐次两点法的精度越高。
图10 STP探头差异性的影响 图11 TRPF探头差异性的影响
对于频域三点法，探头组合有6种情况，如表4所示。
表4 TRPF探头差异
由图11可知，探头1和探头2的差异性是引起频域三点法误差的主要因素，1%的相对误差会引起最大1.6%的相对误差，探头差异性越小，误差分离方法的精度越高。其原因在于频域三点法中绝大部分数据来源于探头1和探头2，探头3的数据用于补偿第一组中缺失的部分，只占很少一部分，所以对误差分离精度影响较小。除此之外，图中的偏差具有很明显的线性趋势，其原因在于最小二乘法的误差，去掉线性趋势后不影响分析结果。
2.6 总结
通过对以上因素的仿真分析得到总结如表5所示。
表5 方法对比总结
3.1 测量系统搭建
本次试验对象为液体静压导轨，测量系统如图12所示，由非接触式电容位移传感器及其信号调理设备、标准尺、传感器安装夹具、微调平台以及数据采集盒组成。
图12 测量系统的搭建
该系统通过设定线性轴进给速度和移动距离即可完成对标准尺的扫描；
通过对扫描结束后的传感器测量数据进行数据分析与处理，通过最小二乘法可得到标准尺被测直线和线性轴直线度的最终评定结果。
试验环境及参数设置如表6所示。
表6 试验环境及参数设置
3.2 试验步骤
步骤1：放置标准尺于微调平台上，并利用微调平台将其调至基本水平位置；
步骤2：将3台位移传感器以一定的间距固定在夹具上，并调节传感器至有效工作范围；
步骤3：驱动液体静压导轨至测量起始位置；
步骤4：取得连续1 s内的测量数据，并进行平均，作为该点的测量值；
步骤5：导轨移动一个采样间隔后停止，重复步骤4和步骤5；
步骤6：当第3个传感器到达测量终点时停止测量；
步骤7：利用采集到的数据分别用逐次两点法和频域三点法进行处理得到最终结果。
3.3 试验结果
两种方法的试验参数如表7所示。
表7 两种方法的参数设置 (mm)
3个探头的单测头直线度评定结果如图13所示。
图13 3个探头在个采样点的输出值
分别用逐次两点法和频域三点法进行数据处理得到标准尺基准直线直线度重构结果如图14所示(图中灰色虚线为标准尺校准证书所给的直线度，为0.11 μm)，分别为0.19 μm和0.13 μm；
线性轴的直线度如图15所示，分别为0.50 μm和0.39 μm。
图14 标准尺被测直线直线度重构结果 图15 线性轴直线度重构结果
试验结果表明：在相同试验环境下，频域三点法和逐次两点法具有相似的变化趋势，在同一位置两种方法得到的标准尺被测直线直线度的最大残差为0.07 μm，线性轴直线度的最大残差为0.08 μm，频域三点法数据处理较为复杂但效果略优于逐次两点法。由于各种噪声等因素的干扰，实际结果应优于试验最终结果。
本文通过分析逐次两点扫描法和频域三点扫描法的基本测量原理，在时域和频域上分析了多种影响因素对两种方法测量误差的影响规律，并搭建试验平台，采用两种方法分别对液体静压导轨运动直线度进行了对比试验，最终得到结论如下：
两种误差分离方法精度或适用性都会随着传感器安装间距、调零误差、测量噪声、标准尺基准面复杂程度、探头差异性等影响因素的增加而降低，其中测量噪声和探头差异性影响较大，需采取合理的控制手段；
总体而言，频域三点法效果优于逐次两点法；
对于高精度要求，或者是需要较完整的直线度曲线的情况下频域三点法是较好的选择，对于精度要求不是特别高，或是较长的线性轴，逐次两点法也可以考虑使用。