福建省武夷山市第二中学
林梦雨
图1
(2022湖北黄冈中考模拟)
问题背景：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，将△CAE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，AD的延长线交边BF于点P.
问题探究：(1)探究EP，FP之和与BP之间的数量关系.
①先将问题特殊化，如图2，当CE⊥AD时，直接写出EP，FP之和与BP之间的数量关系；
②再探究一般情形，如图1，当CE不垂直AD时，证明①中的结论仍然成立.
图2
图3
拓展探究：(2)如图3，若AD的延长线交BF的延长线于点P时，直接写出一个等式，表示EP，FP，BP之间的数量关系.
本题是一道几何探究问题，以旋转为知识载体，探求几何图形在特殊情况和一般情况下的性质，问题由易到难，逐层深入.思考模式为：利用上一个问题的解决方法来类比解决下一个问题.如果不能解决，就把两个问题结合起来分析，找出不能类比的原因和“不变”特征，围绕“不变”特征进行新的探索.本题第①问易上手，利用旋转的性质，以及正方形、全等三角形等知识点就可以解决；
第②问类比第①问的处理方式构造正方形，经过两次全等即可解决. 第(2)问，同样是在同一位置构造正方形，证两次全等，只不过过程与前两问不完全一致而已，结论由“线段之和”改成了“线段之差”，但解题所用的方法、知识基本相同. 此类题目体现“特殊与一般”，运用类比思想探究科学解决问题的基本思路，是促进学生深度学习，培养学生理性思维的较好素材.
经过探究与思考，发现本题解法较多，签于篇幅有限，笔者重点分析最具研究价值的第(2)问，现整理如下.
解法1：设元思想.
图4
点评：解法1思路简单、清晰.由旋转得对应角相等和对顶角相等，直接得到相似三角形对应边成比例.由直角三角形联想到勾股定理，在线段相等的转换处理中，运用了设而不求的方程思想，转换非常巧妙，大道至简.
解法2:作垂证正方形.
图5
如图5，过点C作CH⊥AP交于点H，过点C作CM∥AP交BF的延长线于点M，则四边形CHPM为矩形.证△CEH≌△CFM，得到四边形CHPM为正方形.再证△CHD≌△BPD,得CH=BP.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.
点评：解法2延续了第①问的解题思路，类比特殊情况构造正方形解题.满分的学生大部分都是用这种方法，亦属本题的自然解法.
解法3:截长法，移花接木.
图6
如图6，在AE上截取一点P′，使得EP′=PF，过点C作CH⊥AP交于点H.易证△CEP′ ≌△CFP，得CP′=CP，∠P′CP=90°，则BP=CH=PH=P′H.
马铃薯钙素营养研究进展……………………………………………………………………… 贾立国，李 利，秦永林，樊明寿（72）
故EP+FP=EP+EP′=PP′=2CH=2BP.
解法4:补短法.
图7
点评：解法3和解法4思路来源于证明线段之间的和差关系，联想到截长补短法. 截长补短法也是初中阶段最为常见、最为经典的解决线段和差问题的策略.
解法5:“K字型”全等.
图8
如图8，过点C作MN∥AP，分别过点E，F作MN的垂线，垂足为点M，N.易证四边形EMNP是矩形，得EP=MN，DP∥CN.又由D为BC中点，可知点P为BN中点.易证△ECM≌△CFN，得CM=FN，CN=EM.则EP=MN=MC+NC=FN+PN=BP-FP+BP，即EP+FP=2BP.
点评：由等腰直角三角形联想到构造一线三垂直“K字型”全等，由中点和平行得到中位线，从而将线段之间的关系进行转换.
解法6:四点共圆.
图9
如图9，过点C作CH⊥AP交于点H，CM⊥BF交BF的延长线于点M.由∠ACB=∠APB=90°，得点A，C，P，B四点共圆，则∠CBA=∠CPD=∠CPF=45°.由角平分线性质，得CH=CM，从而得到四边形CHPM为正方形.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.
点评：由共斜边且在同侧的两直角三角形联想到四点共圆，再运用圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质得到CP为∠FPA的角平分线.此法看似简单，但对四点共圆及圆的性质要掌握得非常熟练，富有创新性，有鲜明特点，值得点赞.
4.1 了解类比综合题特点
近几年，类比拓展探究问题越来越频繁出现在各类考试中.因为它既能很好地考查《义务教育数学课程标准》中对学生知识要求的掌握情况，也能更好地考查学生活学活用的能力，即能否把书本知识很好地迁移、拓展到新的问题情境之中. 这样的题型一般多以大题出现，涉及知识点较多，与图形变换知识有关，对学生运用知识的能力要求较高.
正如美国数学家G.波利亚所言：“类比是一个伟大的引路人.”类比探究问题的解决策略，将一般条件与特殊条件相结合，由特殊情形过渡到一般情形；
或由简单到复杂，逐步深化；
解决问题的思想方法一脉相承.体现了“条件类似，图形结构类似，解法类似”的特点.
解决类比探究问题的方法是类比.如，类比辅助线，类比思路，将特殊情形中的问题解决方法类比到一般情形中去.对比前后条件的变化，寻找并利用不变特征，类比方法，类比图形特征，进行推理求证. 正如德国天文学家、数学家开普勒曾指出：“我重视类比胜过任何别的东西，他是我最依赖的老师，在几何学中它应该不容忽视.” 因此，培养学生解决类比问题的解题策略、解题信心、解题心理及解题方向至关重要.
4.2 一题多解，培养创新素养
创新素养是初中生的核心素养，是现代数学教学的基本任务，独立思考、理性思考是创新的核心与关键.面对问题，认真审题是解题的基础.可以由已知向结论推理，或由结论向已知推证；
或者从两边向中间追寻，寻找已知与结论之间的桥梁，由题目的已知条件能够挖掘出什么重要结论，由条件能联想到什么，由结果还能联想到什么.
一题多解是目前一般学校数学教学研究的方向，在课堂中一般都有体现.它是一种过程性变化变式教学，在实际应用教学中，也特别关注学生数学能力的有效提升.特别强调教师要结合数学问题，将条件与结论不断进行转换，凸显自身对不同教学模拟内容、方法的不同理解.这有利于学生知识方法的巩固，数学思想的发展，创新意识的提升.
总之，在平时教学中，教师要了解学生知识与能力的起点，明晰学生的困难与需要，不能浮光掠影，而应深度揭示题目的内涵，挖掘思想品质，提升思维品质.
猜你喜欢延长线过点四边形南京地铁二号线既有线与延长线的施工及转场组织研究科学家(2021年24期)2021-04-252020年本刊原创题（二）初中生学习指导·中考版(2020年4期)2020-09-10一个圆锥曲线性质的推广河北理科教学研究(2020年4期)2020-03-09圆锥曲线内接四边形的一个性质新世纪智能(教师)(2019年1期)2019-09-11四边形逆袭记数学大王·低年级(2018年2期)2018-02-024.4 多边形和特殊四边形中学生数理化·中考版(2017年3期)2017-11-09数学（二）今日中学生(初三版)(2013年6期)2013-07-30从游戏中得到的解题方法语数外学习·上旬(2013年2期)2013-03-13错在哪里中学生数理化·高二版(2008年11期)2008-06-17数学潜能知识月月赛中学生数理化·八年级数学人教版(2008年4期)2008-06-06