多向探究解法,落实核心素养

时间:2023-08-18 19:15:02 来源:网友投稿

福建省武夷山市第二中学

林梦雨

图1

(2022湖北黄冈中考模拟)

问题背景:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,将△CAE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF,AD的延长线交边BF于点P.

问题探究:(1)探究EP,FP之和与BP之间的数量关系.

①先将问题特殊化,如图2,当CE⊥AD时,直接写出EP,FP之和与BP之间的数量关系;

②再探究一般情形,如图1,当CE不垂直AD时,证明①中的结论仍然成立.

图2

图3

拓展探究:(2)如图3,若AD的延长线交BF的延长线于点P时,直接写出一个等式,表示EP,FP,BP之间的数量关系.

本题是一道几何探究问题,以旋转为知识载体,探求几何图形在特殊情况和一般情况下的性质,问题由易到难,逐层深入.思考模式为:利用上一个问题的解决方法来类比解决下一个问题.如果不能解决,就把两个问题结合起来分析,找出不能类比的原因和“不变”特征,围绕“不变”特征进行新的探索.本题第①问易上手,利用旋转的性质,以及正方形、全等三角形等知识点就可以解决;
第②问类比第①问的处理方式构造正方形,经过两次全等即可解决. 第(2)问,同样是在同一位置构造正方形,证两次全等,只不过过程与前两问不完全一致而已,结论由“线段之和”改成了“线段之差”,但解题所用的方法、知识基本相同. 此类题目体现“特殊与一般”,运用类比思想探究科学解决问题的基本思路,是促进学生深度学习,培养学生理性思维的较好素材.

经过探究与思考,发现本题解法较多,签于篇幅有限,笔者重点分析最具研究价值的第(2)问,现整理如下.

解法1:设元思想.

图4

点评:解法1思路简单、清晰.由旋转得对应角相等和对顶角相等,直接得到相似三角形对应边成比例.由直角三角形联想到勾股定理,在线段相等的转换处理中,运用了设而不求的方程思想,转换非常巧妙,大道至简.

解法2:作垂证正方形.

图5

如图5,过点C作CH⊥AP交于点H,过点C作CM∥AP交BF的延长线于点M,则四边形CHPM为矩形.证△CEH≌△CFM,得到四边形CHPM为正方形.再证△CHD≌△BPD,得CH=BP.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.

点评:解法2延续了第①问的解题思路,类比特殊情况构造正方形解题.满分的学生大部分都是用这种方法,亦属本题的自然解法.

解法3:截长法,移花接木.

图6

如图6,在AE上截取一点P′,使得EP′=PF,过点C作CH⊥AP交于点H.易证△CEP′ ≌△CFP,得CP′=CP,∠P′CP=90°,则BP=CH=PH=P′H.

马铃薯钙素营养研究进展……………………………………………………………………… 贾立国,李 利,秦永林,樊明寿(72)

故EP+FP=EP+EP′=PP′=2CH=2BP.

解法4:补短法.

图7

点评:解法3和解法4思路来源于证明线段之间的和差关系,联想到截长补短法. 截长补短法也是初中阶段最为常见、最为经典的解决线段和差问题的策略.

解法5:“K字型”全等.

图8

如图8,过点C作MN∥AP,分别过点E,F作MN的垂线,垂足为点M,N.易证四边形EMNP是矩形,得EP=MN,DP∥CN.又由D为BC中点,可知点P为BN中点.易证△ECM≌△CFN,得CM=FN,CN=EM.则EP=MN=MC+NC=FN+PN=BP-FP+BP,即EP+FP=2BP.

点评:由等腰直角三角形联想到构造一线三垂直“K字型”全等,由中点和平行得到中位线,从而将线段之间的关系进行转换.

解法6:四点共圆.

图9

如图9,过点C作CH⊥AP交于点H,CM⊥BF交BF的延长线于点M.由∠ACB=∠APB=90°,得点A,C,P,B四点共圆,则∠CBA=∠CPD=∠CPF=45°.由角平分线性质,得CH=CM,从而得到四边形CHPM为正方形.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.

点评:由共斜边且在同侧的两直角三角形联想到四点共圆,再运用圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质得到CP为∠FPA的角平分线.此法看似简单,但对四点共圆及圆的性质要掌握得非常熟练,富有创新性,有鲜明特点,值得点赞.

4.1 了解类比综合题特点

近几年,类比拓展探究问题越来越频繁出现在各类考试中.因为它既能很好地考查《义务教育数学课程标准》中对学生知识要求的掌握情况,也能更好地考查学生活学活用的能力,即能否把书本知识很好地迁移、拓展到新的问题情境之中. 这样的题型一般多以大题出现,涉及知识点较多,与图形变换知识有关,对学生运用知识的能力要求较高.

正如美国数学家G.波利亚所言:“类比是一个伟大的引路人.”类比探究问题的解决策略,将一般条件与特殊条件相结合,由特殊情形过渡到一般情形;
或由简单到复杂,逐步深化;
解决问题的思想方法一脉相承.体现了“条件类似,图形结构类似,解法类似”的特点.

解决类比探究问题的方法是类比.如,类比辅助线,类比思路,将特殊情形中的问题解决方法类比到一般情形中去.对比前后条件的变化,寻找并利用不变特征,类比方法,类比图形特征,进行推理求证. 正如德国天文学家、数学家开普勒曾指出:“我重视类比胜过任何别的东西,他是我最依赖的老师,在几何学中它应该不容忽视.” 因此,培养学生解决类比问题的解题策略、解题信心、解题心理及解题方向至关重要.

4.2 一题多解,培养创新素养

创新素养是初中生的核心素养,是现代数学教学的基本任务,独立思考、理性思考是创新的核心与关键.面对问题,认真审题是解题的基础.可以由已知向结论推理,或由结论向已知推证;
或者从两边向中间追寻,寻找已知与结论之间的桥梁,由题目的已知条件能够挖掘出什么重要结论,由条件能联想到什么,由结果还能联想到什么.

一题多解是目前一般学校数学教学研究的方向,在课堂中一般都有体现.它是一种过程性变化变式教学,在实际应用教学中,也特别关注学生数学能力的有效提升.特别强调教师要结合数学问题,将条件与结论不断进行转换,凸显自身对不同教学模拟内容、方法的不同理解.这有利于学生知识方法的巩固,数学思想的发展,创新意识的提升.

总之,在平时教学中,教师要了解学生知识与能力的起点,明晰学生的困难与需要,不能浮光掠影,而应深度揭示题目的内涵,挖掘思想品质,提升思维品质.

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