袭沂蒙,李 莹,刘志红,樊学玲
(聊城大学 数学科学学院,山东 聊城 252059)
本文所使用的符号,R/SQ:实数集合/分裂四元数集合,Rm:m维实列向量集合,:n×n阶实矩阵集合/分裂四元数矩阵集合,:n×n阶分裂四元数箭形Hermitian矩阵集合,:矩阵A与B的Kronecker积,:矩阵半张量积,A†/AT:A的Moore-Penrose逆/转置,In:n阶单位矩阵,V c(X):对矩阵X按列拉直,:单位矩阵In的第i列。
众所周知,矩阵方程被广泛应用于计算机科学、量子物理、统计、控制理论、信号与彩色图像处理、自动控制等诸多领域[1-6]。因而,矩阵方程是矩阵理论及计算中非常重要的研究课题。许多学者对矩阵方程进行了深入的研究:Gong研究了实数域上子矩阵约束下矩阵方程ATXA＝B的实矩阵解及其最佳逼近[7];Zhang研究了复矩阵方程AXB＋CXD＝E的极小范数Her mitian解[8];Yuan利用四元数矩阵的复表示研究了四元数矩阵方程AX＝B的几类特殊的极小范数最小二乘解,并将极小范数纯虚最小二乘解应用到彩色图像处理中[9]。本文考虑了较上述几类矩阵方程更一般形式的分裂四元数方程
分裂四元数作为一类特殊的四元数,于1849年由Ja mes Cockle提出。分裂四元数及其矩阵理论因其在物理应用和数学研究中占有重要地位而得到学者们的广泛研究。在物理上,分裂四元数为解决量子力学、量子场论、空间几何学等提供了新的研究工具[10];在数学上,分裂四元数是对复数的一种推广,是Cliff or d al gebra的重要组成部分[11]。分裂四元数x和分裂四元数矩阵X有以下形式:
式中i,j,k满足i2＝-j2＝-k2＝-1,ij＝-ji＝k,j k＝-kj＝-i,ki＝-ik＝j。分裂四元数矩阵在实际应用中用途广泛,使得分裂四元数矩阵方程的求解问题得到学者们的关注,例如,Liu利用实表示研究了分裂四元数矩阵方程AX＝B的解[12];Yuan利用复表示给出分裂四元数矩阵方程AXB＋CXD＝E存在Her mitian解的必要条件及通解表达式[13]。
矩阵半张量积作为一种新的矩阵乘法,突破了普通矩阵乘法受维数限制的壁垒,同时保留了普通矩阵乘法的重要性质[14],这使其应用越来越广泛,在代数方面,向量场、线性多元映射的泰勒展式、有限维代数和函数等运算都可通过矩阵半张量积进行[15-18],同时矩阵半张量积作为一个简单方便的数学工具,在布尔网络、有限博弈、非线性鲁棒稳定控制、系统控制器设计、有限值动态系统分析、模糊逻辑、模糊关系模型、数据挖掘等领域中有重要的应用[19-26]。本文借助矩阵半张量积给出分裂四元数的一种实表示方法,并以此表示方法和H-表示方法为工具研究了分裂四元数矩阵方程(1)的箭型Her mitian解问题。
文章内容安排如下:第二部分利用矩阵半张量积提出分裂四元数的实表示;第三部分给出实箭型对称矩阵/实箭型反对称矩阵的H-表示;第四部分给出分裂四元数矩阵方程(1)存在箭型Her mitian解的充要条件及通解表达式;第五部分给出问题的数值算法并利用数值例子检验上述算法的有效性;最后对结论进行了总结。
本节首先介绍矩阵半张量积的相关内容。
定义1[27]设A∈Rm×n,B∈Rp×q,则矩阵半张量积定义为,式中t＝lc m(n,p)表示n和p的最小公倍数,当n＝p时即为普通矩阵乘法。
定义2[27]设Wi(i＝0,1,…,n)为一组向量空间,映射称为多线性映射,如果对任意1≤i≤n,x i,y i∈Wi,(1≤i≤n),α,β∈R有F(x1,…,αx i＋βy i,…,x n)＝αF(x1,…,x i,…,x n)＋βF(x1,…,y i,…,x n)。若di m(Wi)＝k i,(i＝0,1,…,n),Wi的基底为记
那么
称为F的结构常数,矩阵MF称为F的结构矩阵
利用分裂四元数乘法的结构矩阵,我们给出分裂四元数的一种等价的实表示矩阵形式。
定义3设q＝q1＋q2i＋q3j＋q4k∈SQ,q t∈R(t＝1,2,3,4),q的基于矩阵半张量积的实表示矩阵定义如
按照分裂四元数的实表示矩阵,相仿地,给出分裂四元数矩阵A∈Rm×n的实表示矩阵
不难看出,AR可以由其任意一列块表示,这里将第一列块记为
下面给出上述定义的分裂四元数矩阵实表示矩阵的性质。
引理1[28]设A,B∈SQm×n,C∈SQ n×s,k∈R,则
定理1设A,B∈SQm×n,C∈SQn×s,k∈R,则
证明我们仅证明定理中的,因为
将分裂四元数矩阵的实表示矩阵的与实表示矩阵第一列块按列拉直具有下述关系。
定理2设A＝A1＋A2i＋A3j＋A4k∈SQn×n,可得,式中
进一步,分裂四元数实表示第一列块的按列拉直与矩阵A1,A2,A3,A4分别按列拉直之间有下述关系。
定理3设A＝A1＋A2i＋A3j＋A4k∈SQn×n,则
定义4[29]设A∈Rn×n,形如
的矩阵称为箭型矩阵。
定义5[30]设A为实箭型矩阵,则
(1)当A＝AT,称A为实箭型对称矩阵,记所有n×n阶实箭型对称矩阵集合为,
(2)当A＝-AT,称A为实箭型反对称矩阵,记所有n×n阶实箭型反对称矩阵集合为。
当具有特殊结构的矩阵在按列拉成向量后,此向量可以由矩阵中的部分元素排成的列向量进行表示,从而可以消除矩阵中的多余元素,降低问题的计算复杂程度,部分元素这里被记为矩阵的有效元素。接下来对H-表示方法进行介绍。
定义6[31]考虑Rn×n的一个q维子空间L,对于任意的X＝(x ij)n×n∈L,总存在一个映射ψ:X∈L,假设e1,e2,…,e q组成L的基,则可以得到,定义H＝[V c(e1)V c(e2)…V c(e q)],对于任意的X∈L,有ψ(X)＝,这里为矩阵X的有效元素排列成的q维列向量,即＝[x1x2x3…x q]T,并且称为ψ(X)的H-表示,H为ψ(X)的H-表示矩阵。
例1,选取A的一组标准基底,
则A的H-表示为。
下面研究n×n阶实箭型对称矩阵、实箭形反对称矩阵的H-表示。
定理4设,选取A一组基底为,这里且满足w ij＝w ji＝1,其余元素均为0,HRS表示A的H-表示矩阵,
定理5设,选取A的一组基底为{Q i1:2≤i≤n},这里Q ij＝(q ij)n×n且满足q ij＝-q ji＝1,其余元素均为0,HRA表示A的H-表示矩阵,
本节将给出分裂四元数矩阵方程的箭型Her mitian解的表达式。
设A1,B1,C3,C4,D3,D4,E∈SQ n×n,(t＝1,2,3,4),记
定理6设,(m＝3,4,t＝1,2,3,4),则问题中的QH可以记为
且分裂四元数矩阵方程(1)的唯一分裂四元数箭型Her mitian解满足
证明由定理1,2可以得到
推论1设,(m＝3,4),(t＝1,2,3,4),则分裂四元数矩阵方程(1)有解的充要条件是
式中μ在定理6中给出。
证明由定理6的证明过程可以得到
推论1得证。
本节将利用第三节的结论给出相应的算法,并通过数值算例检验方法的有效性。
算法(1)输入A1,B1,Cm,Dm,E∈SQn×n,(m＝3,4),HRS,HRA;(2)计算;(3)根据公式(3),输出分裂四元数矩阵方程(1)的唯一箭型Hermitian解。
算例1在Matlab中随机生成分裂四元数矩阵A1,B1,Cm,Dm∈SQn×n,(m＝3,4),(n＝2K,K＝1:15)根据分裂四元数箭型Hermitian矩阵的结构特点,生成,计算,利用算法得到A1X1＋B1X2＋C3X3D3＋C4X4D4＝E的数值解Xt(t＝1,2,3,4),并代入分裂四元数矩阵方程(1)检验,得到误差如图1所示,说明此方法有效。
图1 算法误差
本文研究了分裂四元数矩阵方程(1)的箭型Hermitian解,利用矩阵半张量积,得到了分裂四元数矩阵的一种实表示方法,并与H-表示方法相结合,将分裂四元数矩阵方程问题转化为无约束的实矩阵方程问题,最后给出相应的数值算法,并利用数值例子检验了此方法的有效性。
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