段炘岑，许玉兰，韦扬江
(南宁师范大学 数学与统计学院，广西 南宁 530100)
中英两国在高中的数学课程教学上都注重培养学生对知识进行深入理解的能力.数列是高中数学课程中一个重要的知识板块.国内对不同教材中关于数列的内容的比较分析有一些研究，如[1-4]，其中文献[2]以北师大版高中数学教材和英国剑桥大学出版社于2011年出版的CIE A-Level数学教材PureMathematics1和PureMathematics2&3为比较对象，讨论了两国教材在数列内容上的异同.教材大多数是以知识点和习例题为主要组成部分，所以习例题的选择在很大程度上反映了教材的侧重点.因此，本文选取了2007年修订的人教A版和英国剑桥大学出版社2018年出版的CIE A-Level数学教材PureMathematics1，对两者中关于数列的习例题进行比较研究，然后分析两国教材中的习例题与大学升学考试真题的联系.
1.1 习例题的题量
我们统计了中英教材中的数列习例题的数量，如表1所示.从中可以看出，中国人教A版教材比较强调学生课后的复习训练，而英国的A-level教材相对更注重课堂中的练习题.在例题数量方面中英两国的教材则相差不大.
表1 中英教材中的习例题题量统计
1.2 习例题的类型
中国人教A版的例题均为解答题，练习题有解答、填空和证明三种类型，而复习题则有解答、填空、证明、选择四种类型.英国A-level教材的例题、练习题、复习题全都是解答题.
由此可见，英国教材中的习例题的类型比较单一，这可能是因为英国的考试题均为解答题.在教学实践中，多样化的题型有助于缓解学生的做题疲劳，且能引导学生从不同的角度去思考问题.
1.3 习例题的综合难度
本文采用鲍建生提出的模型[5]作为量化工具.该模型考察五个难度因素，即探究、背景、运算、推理、知识含量(体现为所涉及的知识点的个数)，每个因素又分成不同的水平等级.这里主要分析的是中英两套教材中的数列的习例题在这五个难度因素上的等级，如表2所示.
表2 习例题的难度因素
根据表2中的数据，由以下公式可以算出每道题目在每一个难度因素上难度的加权平均值：
其中z1,z2,z3,z4,z5依次为题目在探究、背景、运算、推理和知识含量这五个难度因素上的难度的平均值;zij为第i个难度因素的第j个等级(在识记、理解、应用和研究上依次取1，2，3和4);nij表示的是在这组题目中属于第i个难度因素的第j个等级的题目的个数(例如中国习例题中识记的题目个数为14),题目数量的总和等于该组题目的总数n.
通过以上分析，我们可以得出中英教材中的数列习例题的难度因素，如表3所示.
表3 中英教材中关于数列的题目的难度情况
续表
表3已经得到了习例题难度的平均值，为直观地感受其差异，我们制作了雷达图(如图1).从背景来看，两国教材习例题很相似，都是以“无背景”为主导.这样的安排对高中生是合适的，因为这个年龄段的学生在解题时已经习惯于关注题目本身，所以习例题的编制就会趋向于考察学生的抽象逻辑思维.但是适当的背景引入可以提起学生的兴趣，缓解学生的疲劳，这一点中国的教材较英国教材编排得更好.虽然英国教材的习例题背景较少，但所选用的背景素材很值得学习，例如A-Level教材中有如下的探究过程.
图1 中英教材难度因素雷达图
1+2+3+4+…+97+98+99+100=?
It is said that,at the age of seven or eight,the famous mathematician Carl Gauss was asked to find the sum of the numbers from l to 100.His teacher expected this task to keep him occupied for some time but Gauss surprised him by writing down he correct answer almost immediately.His method involved adding the numbers in airs:1+100=101,2+99=101,3+98=101,….
1 Can you complete Gauss"s method to find the answer?
2 Use Gauss"s method to find the sum of:
a 2+4+6+8+…+494+496+498+500；
b 5+10+15+20+…+185+190+195+200；
c 6+9+12+15+…+93+96+99+102；
3 Use Gauss"s method to find an expression,in terms ofn,for the sum:
1+2+3+4+…+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n.
上述探究通过描述高斯求和法，引导学生对不同类型的等差数列进行求和，然后让学生总结规律.这样的探索能使学生领悟到数学知识之间的联系，感受到数学的魅力.
在探究方面，两国教材都比较注重学生对知识的把握和运用，而不是让学生单纯地用所学公式去计算；
都比较注重学生对知识的探索和创新，使学生将所学知识彻底消化吸收.
在运算方面，两国的题目都是简单运算的最多，无运算的很少，这说明两国教材都很重视学生的计算能力，但由于英国允许学生使用计算器，英国学生在计算方面可能受到的训练不足.
在推理方面，两国教材中的题目都是以简单推理为主，但中国人教A版中复杂推理的占比相较于英国教材要大一些，中国的教材在培养学生推理能力的方面比英国要求高.
在知识含量方面，英国教材的难度值低于中国教材.这说明中国教材对学生在知识点上的综合运用较为重视；
英国教材的习例题所含的知识点则较为单一，聚集于眼下所学的知识.两者各有千秋.
综合来看，中国人教A版的难度要大于英国的PureMathematics1，但两者相差并不大.而且从图1中可见，五个难度因素的分布不平均.从雷达图的整体来看，整张图都在向右下角倾斜.这说明两国都很重视培养学生的计算能力，但这也可能与数列这章的内容有关，因为数列本就含有大量的计算题，如求部分和、求通项公式等.
为了考察教材习例题与考试真题的联系，本文选取了2019年到2021年中国高考的全国甲卷(理科)的数列真题与人教A版数列习例题做对比，同时选取了2020年11月英国A-Level考试的三套不同的数列真题与PureMathematics1的数列习例题进行比较研究.
2019年的全国甲卷数列题只考察了一道选择题和一道填空题，且考察的都是学生对于数列的通项公式以及求和公式的掌握程度，与教材上的习例题难度和考察方向基本一致.2020年的全国甲卷则有所改变，如下所示.
1.设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
以上题目的第一小题考察学生对数列的通项公式的掌握程度，但并非简单地让学生求通项公式，而是引导学生通过一步步的猜想去求解；
第二小题则进一步考察学生的计算能力，将教材中较为简单的数列题升级成一个较为复杂的题目，这对学生的能力要求较高，需要学生通过课外的练习去提高.2021年的全国甲卷中关于数列的试题有一道选择题和一道简答题，其中选择题只是考察数列的一些基本性质，而简答题如下所示.
2.已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
这道题突破了以往的考察方式，由计算题变成了证明题，这进一步考察了学生的逻辑思维能力.
相比较起来，英国A-Level考试试题均是简答题，且每套试题都含有一道数列题.因为A-Level考试的知识点范围比较广，所以单一知识点的难度就会比较低.并且，单从这三套真题中的数列题来看，其考察方式与教材上的习例题基本一致，在教材中都有类似于考试题的题目，真题并没有发生太多的变化，也没有改变考察的方式.例如以下这道2020年的真题.
A geometric progression has first terma, common ratiorand sum to infinityS.A second geometric progression has first terma, common ratioRand sum to infinity 2S.Show thatr=2R-1.
第一个几何级数的首项是a，公比是r，级数和是S;第二个几何级数的首项是a，公比是R，级数和是2S.证明r=2R-1.
在A-Level的教材中也出现了类似的求解级数的公比与级数和的关系式，例如下题.
据以上分析发现，中国的教材虽然包含的知识点较少，习例题也不是很难，但是大学入学试题往往会出现偏难怪题，所以中国的学生需要去拓展课外的练习题.相比之下，英国教材中虽然知识点众多，但考试题的难度并不大，学生只需将教材上的习例题理解透彻，无须额外去做练习题，就能在考试中取得不错的成绩.
4.1 结论
总体来说，中国人教A版教材中关于数列的习例题的难度要高于英国教材.在推理因素上，两国教材中习例题的难度值相差不大，其余背景、探究、运算和知识含量四个难度因素上中国教材均要高于英国教材.从雷达图可发现，这两套教材上的习例题在五个难度因素上都没有保持平衡，特别是在背景和运算上，中国的加权平均值的差异达到了1.17，而英国的教材甚至达到了1.29.在习例题的背景因素上两国均是以无背景为主，在公共常识方面两国都涉及非常少，英国甚至没有出现一道有关公共常识的习例题.两国教材均缺少数列在实际生活中的应用.在探究方面，中国的习例题多注重于应用，而英国则较为重视培养学生的理解能力.在知识点个数方面，中国教材中含有两个知识点的习例题比较多，而英国的题目则多为只含一个知识点，但是中英两国的习例题含有三个及三个以上知识点的都比较少.英国教材的习例题与考试题的相似度较大，中国的教材习例题基本上只给予学生较为浅显的基础知识，但是考试题往往超出教材所给予的部分.
4.2 建议
4.2.1强调习例题与实际生活的联系
华罗庚说过，对数学产生枯燥乏味、神秘难懂的印象的主要原因是脱离实际生活.教师在利用习例题进行教学时，可以对题目进行适当延伸和拓展，将题目与实际生活联系起来.通过带领学生对习例题进行深入剖析并联系到学生身边的方方面面，可以拓展学生的数学视野，且能让学生有效地开展研究性学习.
4.2.2建立面向不同群体的教学课程
不管是哪个国家，学生之间都存在着不同的差异.孔子虽提出过“有教无类”但是也提到了“因材施教”.所以针对不同的学生，教师在教学的过程中，对于习例题的讲解和布置，应当采用不同的方式.对于学习成绩中上的学生，教师可以让学生多研究含有复杂推理以及复杂符号运算的探究性题目.而对于数学学习较弱的学生，教师应该选用一些富含背景因素的习例题以引起学生的学习兴趣，选择一些技巧性较弱、实用性较强的习例题让学生去感受数学的魅力.
4.2.3强调各知识点之间的联系
由前面的统计可见，中国教材中的习例题所涵盖的知识点以两个为主，而英国教材中的大部分题目只涉及一个知识点.数学的学习重在多个知识点相结合，使人们在解决实际问题时可以综合考虑.因此，对于习例题的编排，教材应该致力于知识点的结合，以便让学生在学习过程中感受到数学的整体性，利用知识点之间的逻辑联系，引导学生去进行归纳、类比和反思.
4.2.4提高中国教材中的习例题难度
根据上述分析，中国教材中的习例题的难度远远比不上高考试题的难度.中国的高考试题侧重考察学生的逻辑思维和应变能力，但目前教材中的习例题的难度无法满足这个要求，这就导致学生需要学习教材之外的习题去应对考试的难度.本文认为中国的教材可以参照入学考试的真题，将习例题的难度适当提高.
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