王慧娟 崔桂彦 范海红 冯文宏
(华北电力大学 电气与电子工程学院， 保定 071003)
“电路理论”是电气工程专业的重要专业基础课程，电路实验是实践理论知识、培养实验技能、提高理论认识水平的重要环节，电路实验在“电路理论”教学中具有重要作用[1-2]。课内的电路实验内容均采用按实验电路图接线，改变参量，测量并记录数据，处理数据，进而得到实验结论的步骤进行，在实验过程中，由于测量的数据均是离散点，在有些实验中需要人为地去判断电路参数的选择，所以误差较大。
近年来，曲线拟合技术在数据处理中的应用越来越广泛，最小二乘法是其中最常用的一种[3-7]。当拟合多项式为一次时，称为线性回归方程。在对实验数据的处理过程中，如果能通过理论推导的方法，找到自变量和对应因变量之间的函数关系，如果两者满足线性关系，那就可以通过测量的若干组实验数据计算得到最小二乘法的线性回归方程，进而确定实验中所需要的更多参数。
文献[8]对RLC 并联电路暂态过程实验运用最小二乘法，对测量数据进行线性回归，得出临界阻尼电阻R0的数值。文献[9] 采用最小二乘法直线拟合技术,将过零点附近的数值拟合为一条直线,然后求解该直线方程得到真正的过零点,进而求得精确的电力系统频率。目前，将最小二乘法应用在电路实验的资料不多，将选取两个典型的电路实验进行分析，得到线性方程，对测量数据运用最小二乘法进行线性回归，得到拟合函数的系数，进而计算得到实验中待求的参量。
对于给定的数据点(xi,yi),1≤i≤N，可用下面的n阶多项式进行拟合，即：
为了使拟合出的近似曲线能尽量反应所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差|δi|=|f(xi)-yi|都较小，为了达到上述目标,可以令上述偏差的平方和最小，即：
这种方法被称为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式f(x)的方法即为最小二乘法多项式拟合。
最小二乘法从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi,yi),1≤i≤N的距离平方和为最小的曲线y=f(x)，f(x)中的系数ak,0≤k≤n的确定可利用偏差平方和最小时，关于ak,0≤k≤n的一阶导数为零，从而列出方程组，对方程组利用克莱姆法则进行计算，从而解出各系数ak,0≤k≤n，得到拟合方程。
当函数f(x)为一次时，可记为：f(x)=a0+a1k,求解系数a0,a1的过程为为线性回归[10]，经计算可得：
(1)
(2)
利用最小二乘法可以简便地推导出未测量的数据，并使得这些推导的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
2.1 提高感性负载的功率因数实验
1)实验原理
该实验的目的是为了验证在感性负载的两端并联适当的电容可以提高整个电路的功率因数，实验电路如图1 所示，等效电路图如图2所示。本实验以灯管、镇流器和启辉器组成的日光灯电路为负载，即可等效为电阻与电感串联电路，呈感性，在日光灯正常工作后开始实验测量。投入并联电容，调节不同的电容值，依次记录电路的有功功率P，功率因数，电路的总电流，电感支路电流,电容支路电流，当测量得到的功率因数最大时，即认为该电路谐振。由于在实际的实验中，电容值的调节不是连续的，很难找到理想谐振时的电容值，功率因数也达不到理想状态的1，尤其是在谐振点附近时，电容增大或减小一点，功率因数相对变化较小，很难判断在该点是否过补偿。
图1 实验电路图
图2 等效电路图
2)最小二乘法应用
该电路以端口电压为参考向量，做出电流向量图如图3所示，其中φ为电路的功率因数角，φRL为电阻和电感支路的夹角。
图3 感性负载并联电容前后的向量图
由此向量图，据文献[11][12]可推导出下式：
Ptgφ=PtgφRL-CωU2
(3)
变形得
(4)
y=a*x+b
(5)
根据最小二乘法原理，根据测量数据，可以拟合得到线性方程的系数，当电路谐振时，可得：
(6)
在该实验中测量得到的数据如表1所示：
表1 实验测量数据及处理
根据最小二乘法线性回归公式(1)(2)，计算得到：a=-0.5,b=1.61, 代入公式(6) 可得，当电路谐振时，C=3.22 μF。测量点实验数据与最小二乘法拟合曲线如图4 所示，可见测量数据与拟合曲线吻合较好。
图4 测量点与最小二乘法拟合曲线对比
由上述可见，对若干组测量数据，应用最小二乘法进行拟合，根据所得的系数，可以便捷地得到电路谐振时的电容值，可以指导实验过程中对谐振点电容值的寻找。
2.2 RLC串联电路幅频特性及其谐振的研究
1)实验原理及分析
RLC串联电路谐振实验是一个常规电路实验，对该实验方法的研究较多[13-15]，该实验电路图如图5所示，电源电压为US,电阻为R，电感值为L，电容为C，电路电流为在该正弦稳态RLC串联电路中，当正弦交流信号源的频率f改变时，电路中的感抗、容抗随之而变，电路中的电流也随之变化，电阻电压UR,电容电压UC，电感电压UL均会随着频率变化而变化，当电源频率满足下式时，
(7)
电路呈纯阻性，电阻电压达到最大，从理论上讲，此时UR=US，UL=UC，此时的频率称为谐振频率。但在实际电路中，由于元件参数并不是理想参数，尤其是电感元件有一定的等效电阻，而非理想的纯电感，所以实验中所测得的数据并不完全与理论值相符。
在实验过程中，保持激励信号源的幅值不变,改变信号的频率，用交流毫伏表测出相应于各频点下电阻、电容、电感上的电压有效值UR,UL,UC，以 为横轴，UR,UL,UC为纵轴，画出电路的幅频特性曲线，然而，在实际实验过程中，频率的调节不是连续的，频点的选择也是随机的，因此只能通过若干测量点大致地绘制出电路的幅频特性曲线，又由于在谐振点附近电阻电压变化较小，不能很精确地找到电路的谐振点。最小二乘法可以通过若干组测量数据得到数据的拟合函数，从而能方便地找到电路的谐振点。
图5 RLC谐振电路的电路图
由图6可知：角度φ为电压和电流之间的夹角，也是电路的功率因数角，由图6可知：
图6 电压关系向量图
(8)
ZL=jωL=j2πfL
(9)
(10)
(11)
将式(9)(10)代入(11)得：
(12)
y=a*x+b
(13)
从而转换成了最小二乘法线性拟合的形式。
2)实验数据
在实验中，测量得到的若干组实验数据如表2所示：
表2 实验测量数据
对上述测量数据，根据公式(8)计算得到tgφ,进而得到表3计算结果。
表3 数据处理后结果
在本实验中，电路参数为：R=100 Ω，L=9 mH，C=0.47 μF，代入公式(7),得到该电路谐振频率的理论值为：f0理论=2448 Hz，与利用最小二乘法计算得到的谐振频率近似相等。最小二乘法的计算数据源于实验测量的数据，由于电路元件不是理想的，仪表本身也存在误差，因此与理论值存在一定误差，但在一定程度上减小了人为寻找近似谐振频率的误差。
在功率因数提高实验和RLC串联电路幅频特性及其谐振实验中，根据理论推导出的相关参量之间的线性关系，对测量数据进行计算整理，根据最小二乘法的线性回归，可求出拟合函数的系数，进而得到拟合直线的公式，根据拟合公式可准确地计算出实验过程中不方便测量的量，比如，在RLC并联电路暂态过程实验中临界电阻的确定，功率因数提高实验中谐振点电容的取值，RLC串联电路谐振实验中谐振频率的确定。该方法减少了实验中反复测量的工作量，可直接与理论值进行对比，减少了测量值与理论值的误差。
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