崔会敏， 魏公明
（上海理工大学理学院，上海 200093）
四阶方程出现在数学和物理的各个分支中。例如，它可以用来研究悬索桥的行进波问题[1-2]和弹性板在流体中的静态扰度问题。近年来，非线性双调和方程和p-双调和方程解的存在性问题被广泛研究[3-4]。关于多重调和问题，Pucci等[5]研究了多重调和算子的临界指数和临界维数。Pucci等[6]研究了多重调和问题在N 维空间的一个球BR上的非线性特征值问题，得到了特征值的连续谱，且证明了最小特征值是孤立的。特别地，对于带有Hardy项的奇异p-双调和椭圆型方程解的存在性问题正在被越来越多的学者关注[7-10]。2018年，文献[3]研究了带有临界指标和凹凸非线性项的p-双调和方程
其中，u∈W02,p(Ω),Ω∈RN是一个有界光滑区域，表示p-双调和算子。使用山路引理、集中紧性引理和亏格的方法证明了方程（1）分别在Dirichlet边界和Navier边界下解的多重性问题。类似地，在次临界下带有凹凸非线性函数和变号势函数的p-双调和问题在Navier边界下解的存在性也可以参考文献[11]。2020年，文献[7]研究了带有Hardy项的p-双调和方程
其中，Ω∈RN是一个有界光滑区域，2＜2p＜N,µ≥0,0∈Ω,:=p*。使用山路引理等变分的方法，证明了方程（2）分别在Dirichlet边界和Navier边界下解的存在性和多重性。受文献[3,7,11]的启发，本文主要研究了临界p-双调和方程
其中，u ∈W2,p(RN)，Δ2pu=Δ(|Δu|p-2Δu)表示p-双调和算 子，2≤p＜q＜p*，p*=， N＞2p，V(x)∈Cc(RN)，V(x)是变号函数。
本文所研究的问题比文献[7]的问题更一般，因为，在RN上，W2,p(RN)↪ Lp*(RN)的嵌入不是紧的，恢复紧性是本文的重点也是难点。
定义W 空间是C0∞(RN)在 范数下的完备化空间。定义Lt(RN)上 的范数：1≤t＜∞。根据p-双调和Hardy’s不等式[12]：
用 表示 连续嵌入到 的最佳常数，即
根据文献[13]可知S是可以取到的，假设存在正函数U∈W 可以取到S且满足
为了方便，当积分区域为RN时，省略不写。令
µ0=min{µ1,µ2}＞0，C＞0,t1＞0，t1仅 依赖于µ1。
本文研究问题(3)的弱解的存在性。对u∈W ，定义问题(3)的泛函：
很容易得到I (u)∈C1(RN,R)，并且具有Fréchet导数为
因为，问题(3)的所有解都是泛函I(u)的临界点，也就是对任意的v∈W ，使得〈I′(u),v〉=0成立的点，因此，可以通过求满足〈I′(u),v〉=0的函数u，就得到了问题(3)的弱解u。
本文主要结果为定理1。0＜µ＜µ0=min{µ1,µ2},λ∈(0,)
定理1如果 ，问题(3)至少存在一个非平凡弱解。
首先验证山路引理的几何条件，得到引理1。
a.存在常数 ρ ,β＞0，使得 I(u)≥β,‖u‖=ρ；
b. 存在 e∈W且‖e‖＞ρ，使得 I(e)≤0。
证明a.因为，V(x)∈Cc(RN)，有
因为， p＜q＜p*，如果取‖u‖=ρ＞0足够小，则一定存在 β＞0，使得 I(u)≥β＞0。
b.取u∈W{0}，则
因为，当t→+∞,I(tu)→-∞，即一定可以取到‖e‖＞ρ，使得 I(e)≤0。证毕。
通过引理1，结合山路引理[14]，存在(PS)c序列{un}∈W ，使得当 n→∞时，
证明 假设{un}⊂W 是泛函I(u)的(PS)c序列，则 I (un)→c,I′(un)→0成立，并且一定存在n∈N,M＞0，使得
则即{un}⊂W是一个有界列，此时可以假设存在一个u∈W ，使得在W 中un⇀u，在中有 un→u，利用集中紧性原理[14]，有
其中，J⊂N是有限集，δx是x∈RN时的Dirac测度， γ,σ,ν是非负的有界测度。不失一般性，只考虑在奇点0∈RN处集中的可能性，对任意的ε＞0，取截断函数ϕ∈C0∞(RN)，使得在B∈(0)内有ϕ=1， 在B2∈(0)外 有ϕ =0，并且有因为，对W 中有界序列{ ϕun}，必成立〈I′(un),ϕun〉=0，于是，
因为，
对式(6)在 n→∞取极限，可得
当 ε→0时，
和
结合式(5)～(9)，有
应用集中紧性原理[14]，有结合上式可以得到 ν0≥
由 V (x)∈Cc(RN)可得，故有
其中，C为正常数。令 g(x)=:M1xp*-M2µxq，
由g′()=0很容易求得g(x)的临界点为x0=通过计算可知g(x)在上取得极小值 g(x0)=M3-µM4，其中，
因此，可得
故在W 中有un→u。证毕。
定理2当 µ∈(0,µ0),λ∈(0,)，山路水平 c 满足
定义函数
因为，I(0)=0，则存在仅依赖于µ1的t1＞0，使得对任意的 µ∈(0,µ1)，都有
另一方面，由式(10)可知，
即对任意的µ ∈(0,µ2)，都有
综上，取 µ0=min{µ1,µ2}，对任意的 µ∈(0,µ0)，都有
通过以上定理和引理，可知当µ∈(0,µ0),µ0=min{µ1,µ2},λ∈(0,，山路水平泛函 I(u)的任意一个(PS)c序列都有一个强收敛的子序列，即方程(3)在W中的弱解是存在的，并且弱解最少有一个。
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