基于学习路径分析的“有余数的除法”单元整体教学

时间:2023-08-31 15:50:03 来源:网友投稿

邵蓓瑜 章勤琼 麻永侃

【摘 要】竖式记录每一步计算的过程。要理解其算理,就要在教学中做好情境意义、操作过程与竖式记录的关联。“有余数的除法”单元的核心目标有两个:(1)理解有余数的除法的含义以及余数与除数的关系;
(2)理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式。从有余数的除法开始学习除法竖式,能让学生更好地理解除法竖式的合理性。同时,学习除法竖式的过程,又能帮助学生更好地理解除法含义。

【关键词】学习路径;
单元整体教学;
有余数的除法;
竖式

除法的本质是不断地对不同单位的总数进行平均分的过程,分了之后对剩余的进行转化,与下面的单位进行合并,然后再重复这样的过程。[1]因此,除法竖式需要记录每次平均分过程的“分什么?要分多少份(每份分多少)?每份分多少(能分多少份)?分了多少?还余多少?”五个步骤。如果有不同单位的多次均分,还需要处理“余下的怎么办”的问题,并继续记录这一过程。这样的除法竖式不仅是在记录计算的过程,还与整个算理理解和思考过程对应。[2]在“有余数的除法”单元教学中,教师容易忽视竖式记录的关联性,即没有做好情境意义、计算过程与竖式记录的关联,导致学生停留在浅层次的程序化记忆中,失去了理解除法竖式的合理性与深化理解除法意义的机会。在教学时,该如何帮助学生进行有意义的竖式记录,进而理解除法竖式的合理性,明晰除法意义呢?本文通过基于学习路径的“有余数的除法”单元整体设计来进行说明。

一、理解学习目标

(一)单元目标概述

1.人教版教材单元目标

(1)通过操作、观察、对比等活动,使学生发现日常生活中在分物时存在着分不完有剩余的情况,借此理解余数及有余数的除法的含义,初步培养学生全面思考问题的意识。(2)通过操作、计算、比较等活动,让学生经历除法竖式(含表内除法的竖式)的书写过程,理解竖式中每个数所表示的意思,初步培养学生的观察、分析能力以及恰当地进行数学表达的能力。(3)使学生初步掌握试商的基本方法,并能较熟练地进行有余数的除法的口算和笔算,培养学生的运算能力。(4)使学生初步学会用有余数的除法解决生活中的简单问题,初步感受数学与生活的联系,继续掌握解决问题的基本思路和基本方法。[3]

2.北师大版教材单元目标

(1)能在教师的指导下,从日常生活中提出简单的除法问题;
在解决实际问题和对结果的实际意义进行解释的过程中,进一步体会除法的意义,感受除法与生活的密切联系。(2)能读懂情境图中蕴含的信息,初步学习画图、列表等多样化的解决问题的策略,知道同一个问题可以有不同的解决方法,并运用有余数的除法解决简单的实际问题。(3)认识余数并经历探索余数和除数关系的过程;
掌握商是一位数的除法竖式的书写格式,了解除法竖式各部分的意思;
经历有余数除法的试商过程,进一步体会余数一定要比除数小。(4)乐于参加数学活动,初步形成对数学的好奇心和探索欲望。[4]

两个版本教材的单元目标都包含三个板块的内容和要求:(1)理解有余数的除法的含义及余数与除数的关系;
(2)理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式;
(3)运用有余数的除法解决问题。

(二)确定核心目标

根据单元目标可知,理解有余数的除法的含义是学习除法竖式的基础,同时,除法竖式的学习又能帮助学生进一步理解有余数的除法的含义,促进学生用有余数的除法解决问题。因此,本单元的核心目标是:(1)理解有余数的除法的含义及余数与除数的关系;
(2)理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式。

(三)核心目标具体化

确定上述核心目标后,还需根据运算意义以及竖式记录过程,分析核心目标的内涵,形成具体的表现性目标。

1.理解有余數的除法的含义

能理解平均分后有剩余的情境;
能用自己的方式表征平均分的过程并能结合情境作解释;
能在理解、比较不同方法的基础上,用有余数的除法算式表征情境,并理解除法算式各部分的含义;
理解余数与除数的关系。

2.理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式

能结合情境意义和平均分的过程,用除法竖式进行记录;
能结合情境,借用除法横式对除法竖式进行解释、筛选;
能理解除法竖式的合理性,理解除法竖式各部分的含义。

根据核心目标可知,明晰有余数的除法的含义能帮助学生理解除法竖式记录的必要性,而除法竖式记录过程又能促进学生对算理的理解。教学时应建立情境意义、计算过程、竖式记录三者之间的联系,使除法竖式的学习成为理解算理、掌握算法的过程,凸显竖式的作用与价值。

二、确定学习起点

根据具体化目标,学生对平均分的过程和除法含义的理解是本单元的学习基础。因此,笔者设计了两道表现性评价的题目,对二年级41名学生进行测试,并根据SOLO分类理论对学生的答题情况进行水平分层的分析。

测试题1:将50颗糖果平均分给4个人,你是怎么分的?请你用图或文字等形式把分的过程清楚地记录下来。

本题考查学生对“有剩余的平均分过程”的理解情况。根据学生的表现,其理解水平可以划分为4个水平层次,测查结果如表1所示。

测试题2:算式“12÷4=3”中的12表示12个苹果,这个算式可以用来解决什么问题?请写出你觉得可能解决的问题。

本题是为了考查学生对除法的两种含义(等分和包含)的理解情况。学生的表现可分为4个水平层次,测查结果如表2所示。

由这两道测试题可以看出,约20%的学生(表1中水平0和水平1)对有余数的除法均分过程的理解存在困难,因此,在教学中需要适当进行提示,以明晰学生的思维过程;
约56%的学生(表2中水平0和水平1)对除法两种含义的理解不足,因此在教学时要建立情境意义和运算过程的对应关系,促进学生对除法含义的理解。

三、分析学习路径

学生在第一次学习除法竖式时,不仅需要知道竖式怎么列,还要在理解算理的情况下,将情境意义、计算过程以及竖式记录进行关联,理解竖式为什么这么列。通过有余数的除法来学习除法竖式,能让学生更好地理解除法竖式的合理性。由此,笔者确定了本单元的学习路径,并在学生运用有余数的除法解决简单的实际问题前,根据核心目标的具体表现设计了相应的教学任务。

(一)理解有余数的除法的含义

任务一,理解“有剩余的平均分过程”的情境。例如,通过操作活动“用12根小棒摆三角形,结果怎样?用13根小棒摆三角形,结果怎样?”直观理解算理。任务二,能用自己的方式表征平均分的过程并能结合情境作解释。例如,对于用13根小棒摆三角形,学生可能会列出不同的算式:13-3-3-3-3=1(个)、3×4+1=13(个)、13÷3=4(个)……1(根)。教师引导学生根据情境意义和平均分的过程解释不同算式的含义。任务三,根据操作过程来比较不同的表征方式,明确有余数的除法算式可用于表示 “分什么?要分多少份(每份分多少)?每份分多少(能分多少份)?分了多少?还余多少?”五个步骤,理解有余数的除法的内涵,联系平均分的过程理解横式中各部分的含义。任务四,理解除数与余数的关系。首先,让学生理解情境的意义,用13根小棒搭正方形,并用除法算式表示。其次,让学生用除法算式直接表示用14根、15根、16根小棒搭正方形的情况,并通过比较学生的易混点,如16÷4=3(个)……4(根)和16÷4=4(个),引导学生根据情境意义和分的过程进行数学说理,体会除数与余数的关系。再次,让学生用除法算式表示17根、18根、19根、20根小棒搭正方形的情况,检查学生的掌握情况。最后,组织学生观察、比较、分析“用13~16根”和“用17~20根”小棒搭正方形的两组除法算式的相同点和不同点,引导学生发现余数和除数的关系,感受除法算式中被除数、除数、商和余数的变化规律。

以上四个任务分为两个课时,其中任务一、任务二、任务三为一课时,主要结合操作过程帮助学生直观理解算理,再用不同的算式引导学生认识有余数的除法,理解有余数的除法的含义。任务四为一课时,主要结合情境,让学生通过操作活动和除法算式之间的规律,理解余数与除数的关系。

(二)理解除法竖式的合理性并掌握除法竖式

任务一,有13根小棒,每4根分1组,操作后列出算式,并用竖式进行记录。任务二,结合情境和操作过程,对列出的竖式的合理性进行解释。任务三,关联情境意义、计算过程与竖式记录,理解竖式记录的合理性,理解竖式各部分的含义。

四、核心课时任务设计

计算教学要强调算理和算法之间的关联。以“除法竖式”为例,要理解除法竖式记录的合理性,就要在理解算理的基础之上,有效关联情境意义、计算过程和竖式记录。具体教学任务如下。

首先,教师出示任务:“有13根小棒,每4根分1组,结果怎样?”让学生画一画,并写出除法算式。在这个任务中,教师需要借助情境,帮助学生直观地理解平均分的过程,并将分的过程与除法横式建立联系,为学生能够根据情境和除法横式写出不同的除法竖式做铺垫。

其次,结合情境意义,让学生尝试用竖式记录平均分的过程,并鼓励学生写出不同形式的除法竖式。再引导学生结合平均分的过程及除法横式的含义,对写出的除法竖式进行筛选和排除。例如,学生可能会写出如图1的三种竖式。教师要引导学生结合前面平均分的过程,全面观察除法竖式的记录过程,从而发现方法(1)只记录了“分了3组”,而缺少了“还余1根”,导致记录的过程不完整。再分析方法(2)和方法(3),寻找竖式记录的五个步骤:“分13根,每份4根,分3份,分了12根,还余1根。”辨析方法(2)中是否记录下了“分了12根”的内容,从而理解“分了12根”是思维过程中必不可少的部分。之后,对比方法(2)和方法(3),理解把“分了12根”记录下来,才能与之前分的过程真正对应起来。学生经历这样的对比和分析过程,才能理解除法竖式记录的合理性,从而更好地理解除法的运算过程。

最后,關联情境意义、计算过程和竖式记录,让学生理解除法竖式各部分的含义。通过“有余数的除法”的教学,在学生充分理解了除法竖式的合理性之后,再让他们尝试解决没有余数的除法的问题,并用竖式记录计算过程,能帮助学生直观地理解算理,将计算过程和竖式记录进行对应,理解除法竖式各部分的实际意义。

参考文献:

[1] 章勤琼,唐娟.为什么除法竖式不一样:兼谈竖式的记录功能及不同形式[J].教学月刊·小学版(数学),2019(10):56-59.

[2]章勤琼,杜依铭. 运算教学中如何做到“法理兼顾”:略谈运算教学的三个要点[J]. 福建教育,2022 (10):28-31.

[3]人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心. 义务教育教科书教师教学用书:数学二年级下册[M].北京:人民教育出版社,2016:143.

[4]刘坚,孔企平,张丹.义务教育教科书数学教师教学用书:二年级下册[M].北京:北京师范大学出版社,2013:2.

(1.浙江省温州市永嘉县实验小学 2.福建师范大学教育学院)

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