甘肃 陈鸿斌
高考试题研究是高三复习中的一项重要工作,通过挖掘高考试题的命题特点可以及时掌握命题方向和趋势,进而有效地反思和改进高三复习备考.本文通过对2022年全国乙卷理科第19题进行探究,分析了高考试题的命题特点和命题趋势,进而反思高三备考复习策略,提出一点复习备考建议,以期抛砖引玉.
(2022·全国乙卷理·19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山,为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位: m2)和材积量(单位: m3),得到如下数据:
样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数
统计解答题对变量的相关关系问题的考查可以说并不陌生,早在2016年全国卷Ⅲ理科第18题和2020年全国卷Ⅱ理科第18题中就有所考查,下面的引题1和引题2分别为这两年的高考真题.
【引题1】(2016·全国卷Ⅲ理·18)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数：
将2022年全国乙卷理科第19题与引题1和引题2相互比较,如下表所示:
题目2022年全国乙卷理科第19题引题1:2016年全国卷Ⅲ理科第18题引题2:2020年全国卷Ⅱ理科第18题不同点本题更具开放性,考生可以利用表格直接计算相关系数,但运算量太大;也可以对相关系数公式变形,代入已知数据,较易.可以看出本题更关注对公式本身的理解需要对相关系数公式部分变形,不变形无法求解,单向考查对公式本身的理解直接代入相关系数公式,比较机械,运算量大相似点问题背景三道题均以生态环境建设为素材背景进行命题设问形式三道题都设置了相关系数的运算问题.其中本题与引题2设问形式相同,均设三问.考查角度三道题都考查相关系数的运算,数据处理能力、运算求解能力和应用意识,落实数据分析、数学建模、数学运算核心素养.其中引题1和引题2都还考查了相关系数的统计意义.本题和引题1求解相关系数都需要变形公式
从上表分析可以看出,2022年全国乙卷在引题1和引题2的基础上有所创新,就相关系数而言,本题与2016年的全国卷Ⅲ理科第18题更为相似,但本题更具开放性,给考生提供了选择空间.
≈0.97.
【点评】从上面的解答可以发现,总体求解思路还是比较简单的,但是第(2)问有区分度：一是不对相关系数公式进行变形,直接从表格中获取数据,这样对已知提示数据利用不高而导致运算极大;二是对相关系数公式进行变形代入计算,但是运算量仍然不小.纵观近几年的高考试题,对数学运算核心素养的考查力度呈现加大趋势.
4.1 设置生态环境建设的现实情境,发挥育人功能
高考数学命题坚持思想性与科学性的统一,发挥数学的应用广泛性,设置具有教育意义的现实情境,发挥育人功能.本题和引题1、引题2一样,都是以生态环境建设为背景,考查学生统计的基本知识和基本方法的同时,考查关键能力和核心素养.从本题中学生可以了解到我国生态环境建设取得的巨大成就,有助于增强学生的爱国主义精神,引导学科教学应注重课程思政,发挥育人功能,弘扬正能量和核心价值观,以立德树人为根本任务.
4.2 平淡中有创新
本题的设问以及题干的表述都很常规,但是求解相关系数的过程具有创新性：一是打破了像引题2那样直接给出的机械代入模式.这种模式可以说基本上贯穿了整个高三复习历程,而且给考生一种“统计问题就是带值计算”的错误认知,虽然说引题1已经对公式本身的理解有所导向,但是时间较久,复习备考中重视不够,所以成了思维定式.二是相比较引题1,本题更具开放性,双重选择下寻找最优解题策略.这就使得本题具有很大的创新性.
4.3 命制有梯度、着力于数学核心素养的考查
本题第(1)、(3)问,大多数考生都能拿下,考查要求体现了基础性,但是第(2)问就不那么容易了.虽易上手,但不易走出来.如果选择从表格里获取数据计算相关系数,运算量很大,很多考生在这里投入大量时间却无结果.根据题目中的数据,需要对相关系数公式进行变形才能代入计算,但是从解答来看,运算量还是不小.可以看出,本题在面向大多数考生的同时,对数学核心素养提出了要求,如果数学运算的核心素养不够,那么是算不出结果的.当然首先要从现实情境中获取数据,抽象成数学模型才能完成本题的解答.因此,本题是以素养立意,考查运算求解、数据处理的能力和应用意识,落实数学运算、数据分析和数学建模的核心素养.
从上面2022全国乙卷理科第19题的命题特点来看,2023年高考数学统计解答题应具有以下的命题趋势:
(1)仍然设置现实情境问题,发挥育人功能；
(2)数学运算关注知识的原理、化简,不再是简单的机械代入；
(3)仍然立足于数学运算、数据分析和数学建模核心素养的考查.
6.1 统计复习不能停留在机械的套用公式上
如今高三备考对统计部分的复习基本上停留在机械的代入现成公式,缺少对公式本身的理解,因为高考试题会附参考公式,所以学生对公式的表达式也不要求记忆,致使统计部分对基本公式的掌握连死记硬背的程度都没有达到,只是停留在对现成公式的死搬硬套上.通过对今年高考试题的命题特点的分析,启示我们在今后在统计部分的复习中,要引导学生熟练掌握基本公式的意义、推导及变形,对数学公式、概念深刻理解,才能适应高考的不断创新.只有理解了必备知识,才能培养关键能力.
6.2 高三复习应注重大单元整体复习策略
无论是2022年全国乙卷理科第19题还是引题1、引题2,他们并不是单纯的考查相关系数的计算,还会交汇回归分析、样本估计总体等知识.所以我们在复习备考中不是点对点,而是要成面结网,注重知识的联系性,打破现有章节的限制,将相关的知识整合在一起,采用大单元整体复习策略,重新建构认知结构,有助于从整体上理解数学知识.大单元整体建构知识不是简单的知识点的罗列,而是要对统计这一模块的知识重新整合,不仅要体现知识之间的上下位从属关系,而且还要体现逻辑关系,这样的知识梳理才具有体系化和网络化,如图所示.
上图是笔者在复习备考统计这一模块时,引导学生重新建构的知识体系,源自于笔者对教材的重新整合,以及历年高考试题的命题规律.学生对知识有了清晰的框架结构,解题思路才具有系统化和体系化.
6.3 高三备考复习仍要重视发展数学运算核心素养
