靳玉竹 刘素红
摘 要：采用综合难度模型，以义务教育阶段“二次函数”内容为例，对人教版和北师大版的课后习题难度进行比较研究.通过数据量化教材在“认知”“背景”“运算”“推理”“知识含量”以及“与例题的相关程度”这六个因素不同水平层次上的体现，探究教材习题设置特点;用图形直观化综合难度结果，结合数据与图形，分析教材，提出教材编写与教学参考建议.
关键词：二次函数;难度因素;综合难度;教材;习题
1 引言
1.1 难度模型
本文选取人教版和北师大版2013年出版的教科书中，初中“二次函数”这一章的练习题、习题以及章复习题，进行难度对比研究.在文献研究以及大量的实证调查中发现，影响课后习题难度的因素，除了已有的研究成果[ 1-2 ]，习题与例题的关联度也是一个不可忽视的影响因素.因此，基于鲍建生的[ 1 ]五个难度因素的难度模型，构建了含有六个难度因素的综合难度模型;此外在调查研究中还发现，影响因素中的“运算”“推理”以及“习题与例体的关联度”，究竟几步运算、几步推理、几步关联度使得学生对相关问题感到易或者难，是一个需要分段细化的步骤.为此，对鲍建生模型中的相应水平层次重新分段量化，对新增加的影响因素进行占比量化;所选取的内容中，没有涉及“背景因素”中的“公共常识”背景，故在量化研究中去掉这一因素，最终构建了如表1所示的习题综合难度模型.
1.2 量化方法
难度因素水平划分及赋值：六个影响因素的水平划分如表1，每个水平依次赋值1，2，3.
题目中的难度因素与量化：考察每道题目上六个影响因素的成分及水平并赋值;计算每个影响因素的加权平均值.加权平均的计算公式是：
di=（jn=n，i=1，2，3，4，5，6=1，2，3……其中，di（i=1，2，3，4，5，6）依次表示“认知”“背景”“运算”“推理”“知识含量”和“与例题相关程度”六个难度因素的加权平均值，d表示第i个难度因素的水平j的权重，n表示个数，总和等于所有题目的个数和n.根据求得的六个di值，对两版教材分别在六个因素上的难度进行分析比较，用图形直观反映不同教材难度因素的特点和综合难度 [ 1 ].
2 两版教材习题的综合难度分析比较
2.1 量化结果
梳理两版教材中课后习题，用上述量化方法进行赋值计算，得到结果如表2.
对表2数据图形直观化处理，绘制统计图。
2.2 各因素分析比较
“认知”因素如图1，两版教材均呈现由高到低的变化趋势，都在“识记”水平的占比最大，在“探索”水平的占比最小;北师大版除了在“识记”水平的占比远低于人教版外，其他水平均高于人教版.在这一因素上，两版教材充分体现了重视“双基”的要求.整体上，北师大版在“认知”因素上的难度要高于人教版，而这一难度差异主要来自较高水平层次的认知.
“背景”因素如图2，两版教材的占比都呈现由高到低的趋势，均在“无实际背景”的占比最大;北师大版各水平之间的差异小于人教版.总体来说，两版教材涉及到背景的占比都比较小，没有充分体现出《课程标准》中“应用意识”[ 3 ]这一核心概念.
“运算”因素如图3，两版教材在前三个水平的占比之和都占据绝大部分，运算步骤越多占比越少，符合认知规律与课程理念.即通过大量的基本运算题目达到“人人都能得到良好的数学教育”[ 3 ]，但是为了让“不同的人在数学上得到不同的发展”[ 3 ]，设置了更高水平的题目.相对来说，北师大版对学生的运算水平要求更高.
“推理”因素如图4，北师大版呈现由高到低的趋势，符合认知规律;而人教版在中等推理和复杂推理上呈现“逆趋势”，这不但不符合认知规律，也与其高占比的“无推理”题目设计意图相悖.整体上，北师大版对学生的推理水平要求更高.
“知识含量”因素如图5，两版教材在这一因素的习题设计趋势完全一致，占比递减，符合认知规律.不同之处，人教版对三个及以上知识点的题目设置较多，这就产生了人教版在这一因素上的难度大于北师大版.
“与例题相关程度”因素如图6，两版教材整体呈现递减趋势，符合教育与认知规律;“强相关”的题目占比在两版教材中都是最大的，说明两版教材的大部分习题都是对例题的模仿与巩固.总的来说，北师大版的题目在这一因素下的难度大于人教版，对学生的要求也更高.
2.3 综合难度
根据数据，绘出反映两版教材习题综合难度的雷达图，六个因素作为六边形的顶点，中心到顶点的长度表示相应的因素难度;六边形面积大小，即反映出综合难度的大小，如图7.
从雷达图上看，北师大版在运算因素上难度最高，人教版在知识含量和运算因素上的难度都是最高;北师大版只在知識含量因素上比人教版难度低，在其他因素上均高于人教版;两版教材都是在背景因素上难度最低，呈现出严重不足.直观比较反映习题综合难度的六边形模型面积，北师大版要明显大于人教版，所以北师大版的教材习题综合难度要高于人教版，这与统计结果表2的数据一致.
3 结论与建议
依以上数据与分析，对教材使用和教学提出以下建议：
两版教材在“认知因素”的“探究”水平、“背景因素”设置权重都是最小的.而《课程标准》指出，探究活动有利于学生积累数学活动经验，培养学生独立思考和合作交流的能力;具有实际背景的题目可以培养学生从实际问题中抽象出数学问题，有利于培养学生的数学抽象、数学建模素养和解决实际问题的能力[ 3 ] .因此，教师在教学中，可以考虑在巩固“双基”的基础上，通过具体的情境、背景、活动，加强“基本思想”“基本探究活动”，全面体现数学“四基”.培养学生从现实情境中抽象出数学问题、分析问题、有意识地用数学的方法解决问题，通过“四能”目标的达成，达到对核心概念“模型思想”“应用意识”的教学要求.
两版教材在“运算因素”的权重都是最大的，对核心概念“运算能力”的体现是相同的.同时，人教版的知识含量因素与其运算因素权重均排在第一位，说明人教版更注重学生基础知识和数学运算能力的培养，这为高中阶段的学科核心素养的获得奠定良好的基础.教师在充分使用本教材题目的基础上，可以适当甚至少量参考不同教材的题目，依据实际情况稍加调整或变化来提升学生的数学运算能力.
对教材的选取而言，可以研究两版教材，选取合适的题目给不同水平层次的学生，让不同水平层次的学生的最近发展区[ 4 ]都得到更好的发展.不同教育水平地区，可以针对本地区的教育水平，选择更适合本地学生发展的教材，或者在不同教材中选取适合的部分内容.
对教材编写者而言，全面考虑教材中习题设置与《课程标准》的一致性、影响习题难度各个因素的均衡性，“四基”“四能”“十个核心概念”[ 3 ]在习题中的渗透性等综合指标及综合因素，使教材更全面、科学地体现课程标准，为教师教学提供有力的教学参考.
参考文献：
[1]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，31（9）：48-52.
[2] 徐玉庆，武小鹏.中美新三国初中数学教材习题综合难度的比较研究——以“三角形的有关角”为例[J].教育与教学研究，2015，29（9）：9-12.
[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[4] 李士锜， 吴颖康.数学教学心理学[M].上海：华东师范大学出版社， 2011（4）.
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