摘 要：“医用高等数学”是一门低学时的高等数学课程，该课程的习题应当认真遴选。文章针对一道不定积分习题的教学展开了研究，记述了作者关于该题的有关教学思考。文章首先通过综合应用根式换元积分、凑微分、一阶微分形式不变性、分部积分和三角换元积分等方法，给出了此题的五种解法。然后对于所获得的两个在形式上不尽相同的计算结果，指出其为原函数的不唯一性的体现，并进行了具体的验证。在验证过程中，还通过构造辅助三角形的方式，揭示了上述两个计算结果内在的关系。
关键词：医用高等数学；
不定积分；
教学思考；
原函数；
辅助三角形
中图分类号：G642.0 文献标识码：A
1 概述
在医科类高等院校的课程设置中，“医用高等数学”通常是基础医学、临床医学、预防医学、口腔医学、麻醉学、医学检验技术、医学影像技术、药学和中药学等医药类相关专业必修的一门自然科学类基础课。上述专业的培养计划对于这门课程教学时数的配置一般都相对较少，任课教师需要在并不十分宽裕的学时内完成规定的教学内容，并且还要达到预期的教学目标。这就要求教师在授课之前应当对教学过程做出较为精准的规划，而本课程的习题（包括课堂练习题和课后作业题）的安排就是其中一个需要精心考虑的重要环节。
一方面，为了使医药类专业的学生能够理解并掌握“医用高等数学”这门课程的基本思想、基本结论和基本方法，同时也为了使这些非理工类专业的学生能够顺利通过本课程的考核，对其进行一定量的习题训练显然是不可或缺的；
但另一方面，医药类专业学生每学期需要完成的课业量普遍较大，为了不对他们学习医学药学专业课程的时间造成挤兑，本课程又不宜布置过多的习题，题海战术更不可取，并且受培养计划对本课程规定教学时数的限制，教师在课堂上也不太可能用过多的时间进行习题讲评。因此，对于“医用高等数学”这门低学时的高等数学课程，教师在安排习题的过程中更是应当做到精挑细选。
笔者在“医用高等数学”这门课程的教学实践中，常会结合教学内容对教材里的有关习题进行钻研，然后从中遴选出部分题目作为课堂练习或课后作业并进行精心讲解。本文所要介绍的不定积分问题，便是一道从笔者授课所使用的教材［1］第3章中挑选出的习题。这道习题，不仅能使用多种方法求解，而且教师在讲解此题的过程中还可以引导学生对之前已经学过的相关知识点进行关联和复习，尤其是对原函数不唯一这个知识点的巩固颇有裨益。
2 问题及其解法
问题 求不定积分∫1-2x1+2xdx
解法1 先进行根式换元t=1-2x1+2x，则t2=1-2x1+2x，据此可得x=1-t22（1+t2），进一步在该式等号两端同时求微分，得到dx=-2t（1+t2）2dt，然后进行凑微分，即有
∫1-2x1+2xdx=∫t-2t（1+t2）2dt=-∫td（1+t2）（1+t2）2（1）
对于（1）式最右端不定积分中的被积表达式，根据一阶微分形式不变性应成立d11+t2=-d（1+t2）（1+t2）2，从而有
∫1-2x1+2xdx=-∫td（1+t2）（1+t2）2=∫td11+t2
=t1+t2-∫11+t2dt （此步应用了分部积分法）
=t1+t2-arctant+C，
最后将t=1-2x1+2x回代入上式，经整理便可得到
∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。
解法2 仍作换元t=1-2x1+2x，之后另行如下推导，
∫1-2x1+2xdx=∫-2t2（1+t2）2dt=-2∫1+t2-1（1+t2）2dt
=-2∫11+t2dt-∫1（1+t2）2dt
=-2arctant+2∫1（1+t2）2dt（2）
为求解（2）式中的不定积分∫1（1+t2）2dt，再次进行换元，设t=tanθ，于是dt=sec2θdθ，1+t2=sec2θ，故
∫1（1+t2）2dt=∫sec2θsec4θdθ=∫1sec2θdθ
=∫cos2θdθ=∫1+cos2θ2dθ
=12θ+14sin2θ+C0（3）
由三角恒等式可知成立sin2θ=2tanθ1+tan2θ=2t1+t2，于是从（3）式可以进一步得到
∫1（1+t2）2dt=12arctant+t2（1+t2）+C0（4）
再将（4）式代入（2）式，经整理后可以得到
∫1-2x1+2xdx=-arctant+t1+t2+C（5）
其中C=2C0。最后将t=1-2x1+2x代回（5）式便有
∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。
解法3 先將被积函数的分母进行根式有理化，得到
∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx（6）
注意到（6）式右端不定积分中被积函数的分子1-4x2，是一个关于x的平方差函数的平方根，故可作三角换元。
设x=12sinu，从而dx=12cosudu，然后结合（6）式有
∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx=12∫1-sin2u1+sinucosudu
=12∫cos2u1+sinudu=12∫1-sin2u1+sinudu
=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C
=12arcsin（2x）+1-4x22+C。
解法4 采用类似于解法3的思路，只不过这里先将被积函数的分子进行根式有理化，然后进行三角换元，于是
∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx
=12∫1-sinu1-sin2ucosudu 三角换元x=12sinu
=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C
=12arcsin（2x）+1-4x22+C。
解法5 先将被积函数的分子进行根式有理化，之后通过凑微分，并应用一阶微分形式不变性亦可计算出结果，具体推导过程如下。
∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx
=∫11-4x2dx-∫2x1-4x2dx
=12∫d（2x）1-（2x）2+12∫d（1-4x2）21-4x2
=12∫d［arcsin（2x）］+12∫d（1-4x2）
=12arcsin（2x）+1-4x22+C。
3 教学注记
在这道不定积分习题的教学中，教师可以启发或是引导学生采用上述各种方法进行求解，然而学生很快会发现，使用不同的解法居然会得到在形式上不尽相同的计算结果。使用解法1和解法2得到的是一个结果，但若使用解法3～解法5的方法却会得出另一个结果。对于这个情况，学生普遍会感到十分困惑。此时，就需要教师向其释疑解惑了，教师应当告诉学生，这个情况的发生并不是因为在推导过程中出现了计算错误，而是因为如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是不唯一的。事实上，按照本课程以及教材对不定积分这一章知识点的编排次序，原函数不唯一这个结论在此之前的教学内容中就已经向学生进行了介绍，但学生往往会忽视或是淡忘这个结论，而现在借助于这道不定积分习题，教师正好获得了一个帮助学生强化对该结论认识的好机会。
教师应当向学生指出，使用上文中的不同方法求解这道不定积分所获得的两个在形式上不同的计算结果，说明
F（x）=1-4x22-arctan1-2x1+2x，
G（x）=12arcsin（2x）+1-4x22
这两个函数的导数应是相同的。据此又可以进一步地推知f（x）=-arctan1-2x1+2x与g（x）=12arcsin（2x）这两个函数的导数也应相同。教师授课时可要求学生具体计算一下f（x）与g（x）的导数，以验证上述论断的正确性。
事实上，函数f（x）可视为是由函数y=-arctanu，u=v，与v=1-2x1+2x复合而成的，于是根据复合函数求导的链式法则，应有
f′（x）=dydu·dudv·dvdx=-11+u2·12v·-4（1+2x）2=11-4x2。
另一方面，同样由链式法则，可求得函数g（x）的导数为g′（x）=12·21-（2x）2=11-4x2。由此可见，f（x）与g（x）这两个函数的导数确实是相同的，进而可知使用前述不同方法求解这道不定积分所获得的两个计算结果，它们虽在形式上不尽相同，但都是正确的。
完成上述求導验证的环节之后，教师在教学中还可再进行一点延伸：既然f（x）与g（x）的导数相同，那么根据一元函数微分学里的拉格朗日中值定理，f（x）与g（x）之间应当只相差一个常数，也即应当存在常数K，使得12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+K，以特殊值x=0代入该式，可求得常数K等于π4。从而
12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+π4（7）
如此一来，教师在讲解这道不定积分的同时，还能引导学生对复合函数求导的链式法则，以及拉格朗日中值定理等已经讲授过的知识点进行关联和复习，可谓一举多得。
值得一提的是，笔者在课堂教学中注意到，有部分学生会对（7）式心存疑虑，他们认为该式尽管可以从数学理论上推导得出，但是其所呈现的角度关系从直观上来看却并不那么显然，因而对其仍然会感到有些半信半疑。为帮助学生打消这个疑虑，笔者数形结合，想出了如下方法。
易见，欲说明（7）式所给的角度关系是成立的，等价地只需说明成立
arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x（8）
为此，首先构造辅助三角形ABC（事实上，构造辅助三角形，是在涉及三角换元的不定积分问题的求解中经常采用的一种方法），其中∠ACB=π2，AB=1，CB=2x。然后延長CB于D，使得BD=AB=1。最后连接AD。
由上述作法可知，△ABC和△ADC都是直角三角形，△BAD是一个等腰三角形，故可设α=∠BAD=∠BDA。另设β=∠BAC，φ=∠ABC。在Rt△ADC中，注意到
tanα=ACCD=ACCB+BD=1-4x21+2x=1-2x1+2x，故α=arctan1-2x1+2x。而在Rt△ABC中，又显然成立β=arcsin（2x）。另由平面几何知识可知φ=2α，故从Rt△ABC中可得β=π2-φ=π2-2α，也即确有arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x。
这样，教师就可为（7）式给出一个直观的几何解释，学生也因此而能心悦诚服地接受这个角度关系了。笔者发现，通过教师对此道习题多方位的讲解，尤其是在有了上述构造辅助三角形的经历之后，学生对拉格朗日中值定理以及原函数不唯一这两个知识点的认识都普遍加深了。
结语
这道不定积分习题的五种解法，涉及了根式换元积分、凑微分、一阶微分形式不变性、分部积分和三角换元积分等知识点，几乎涵盖了不定积分问题常用的各种解题技巧，通过这一道题，就能够对学生进行较为全面的训练。不仅如此，教师在讲解此题的过程中，还可通过教学内容的延伸，引导学生加深对与之相关的知识点的理解和认识，从而在一定程度上就能达到事半功倍的效果。
这种教学方式，对于任课教师在培养计划规定的学时内高质量完成本课程的既定教学内容，对于医药类专业学生在相对较少的学时内掌握本课程的基本结论和方法，同时也对于避免学生机械性地刷题和重复性地练习，具有十分积极的意义。因此，教师对于“医用高等数学”这门课程的习题安排，必须要给予足够的重视，在教学准备中，应当对教材里的习题认真进行钻研，尝试多角度发掘习题的教法，并精心设计习题的讲解过程，这样才能有助于自身在这门低学时高等数学课程的教学中达到较好的教学效果。
参考文献：
［1］李霞，彭继世.医用高等数学［M］.第2版.北京：北京大学医学出版社，2018.
［2］秦侠，吕丹.医用高等数学［M］.第7版.北京：人民卫生出版社，2018.
［3］华东师范大学数学科学学院.数学分析（上册）［M］.第五版.北京：高等教育出版社，2019.
［4］陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上册）［M］.第二版.北京：高等教育出版社，2004.
［5］热木孜亚·热布哈提.医用高等数学对医学院校的重要性［J］.科技视界，2019（16）：238239，196.
［6］王中亮.《医用高等数学》课程评价方式改进和相关问题研究［J］.继续医学教育，2019，33（9）：5658.
［7］赵文媛，吕俊杰，何月涵，等.基于目标导向、问题导向及结果导向的教学改革探索——以医用高等数学为例［J］.黑龙江科学，2022，13（11）：156158.
作者简介：吴海（1986— ），男，汉族，硕士，助教，研究方向：医用高等数学课程的教学与研究。
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