魏 旭, 唐 童
(1.河海大学 理学院,江苏 南京 210098; 2.扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州 225002)
在宏观描述中,气体可以看作是一个连续统一体,在给定的时间t∈R和区域Ω∈Rn,气体的状态方程完全可以由密度ρ=ρ(t,x)速度u=u(t,x),温度θ=θ(t,x)和质量分数Z=Z(t,x)表示,这里x∈Ω⊂Rn,n=3.气体的运动方程可以被Navier-Stokes方程控制,本文中,笔者研究如下气体方程:
ρt+div(ρu)=0,
(1)
(ρu)t+div(ρu⊗u)+∇p=divT-ρ∇Φ,
(2)
(ρE)t+div(ρuE+up)+divQ=div(Tu)-ρ∇Φu,
(3)
(ρZ)t+div(ρuZ)=-Kf(ρ,θ)Zm+divY.
(4)
这里ρ,u,θ,p,e和K分别表示密度、速度、温度、压强、内能和反应速率.T表示粘性应力张量且
T=μ(∇u+(∇u)T)+λ(divuI).
(5)
这里I表示单位矩阵,μ和λ分别表示粘性系数和第2粘性系数并且满足如下条件:
(6)
为了简化表示,在本文中,只考虑多方气体,因此气体的状态方程为
(7)
为了方便计算,令A=1,则压力可以表示为
p=(γ-1)ρe.
(8)
从物理角度来说,Φ表示引力势能具有如下形式:
(9)
它是由 Poisson 方程决定的,即
ΔΦ=4πGρ,G≥0.
(10)
如果考虑地球引力,则G>0表示万有引力常数.在本文中,用G=0表示无地球引力.能量E表示为
(11)
这里q≥0表示生成气体产生的热量差.Q表示热流,具有如下形式:
Q=-κ∇θ-qY,
(12)
这里κ≥0表示导热系数,并且假设物质的扩散速度Y由Fick定律给出,即Y=dρ∇Z反应函数f决定了燃烧的性质,假设f满足著名的Arrhenius-type 定律,即
(13)
这里c0,c1>0,r≤4,l≥1,θI≥0 表示引燃温度.当实际温度大于引燃温度时,燃烧将会发生.
近些年来,对于系统 (1)～(4) 的研究有许多结果,请读者阅读文献[1-12].本文中,笔者在空间C1([0,T],Hm(Rn))中研究系统 (1)～(4) 光滑解的爆破,在这里补充系统 (1)～(4)的初值:
(ρ,u,θ,Z)(x,t=0)=(ρ0(x),u0(x),θ0(x),Z0(x))∈Hm(Rn).
(14)
suppρ0(x)⊂BR0,
(15)
其中BR=BR(0)表示在Rn中以原点为中心,R0为半径的球.则在这个条件下得到密度ρ=ρ(t,x)在空间中存在紧支集.因此,R(t)=inf{r|suppρ(x,t)⊂Br}是有明确定义的并且对于t∈[0,T]是有限的.
目前,在流体力学中,爆破问题是一个非常重要的研究领域.许多的文献都致力于研究常系数下系统的爆破现象.在1985年,Sideris[13]证明了当初值在有界集外为常数且初始速度有紧支集时,可压缩Euler方程的解是有限的.Xin[14]在假设密度的紧支集随着时间次线性增长及熵有下界的条件下,证明了初始密度有紧支集条件下可压缩NS方程的Cauchy问题光滑解的爆破,其结果被认为是一个突破性的成果.Jiu等[15]证明了粘性系数依赖于密度的可压缩流体的爆破现象.读者也可以参见文献[16-17]及其所引文献.
本文中,笔者将 Xin[14]的爆破结果推广到粘性可压缩气体模型中.不需要假设熵是有界的,受文献[15,18]的启发,利用物理量之间特殊的泛函关系及使用 Hölder不等式、柯西不等式等特殊的方法,证明了对于初始密度有紧支集的粘性可压缩反应气体模型的光滑解将在有限时间内爆破.
在给出本文主要定理之前,首先给出一些基本的物理量如质量、转动惯量、能量以及他们之间特殊的的泛函关系.这些物理量的性质在证明定理的过程中具有重要的作用.
假设
M(0),F(0),H(0),ε(0)-qMZ(0)<∞且M(0)>0,ε(0)-qMZ(0)>0.
(16)
初值 (14) 满足条件 (15) 和 (16).若满足下列条件之一:
i)κ=0; ii)κ>0,θ=0当ρ=0时.
(17)
则可以得到
1) 当G>0时,
(18)
和
(19)
2) 当G=0时
(20)
和
(21)
引理1对于系统 (1)～(4),可以得到
(22)
证首先,在 (1) 两端同乘|x|2并对得到的等式在Rn上积分,得
(23)
其次,在Rn上积分(1)和(3),由(1)和(9),得到等式:
(24)
最后,用x与(2)做内积并在Rn上积分,推出:
(25)
在这里,使用了等式
(26)
命题1令(ρ,u,θ,Z)∈C1([0,T],Hm(Rn))是系统(1)～(4)的解,且初值(14)满足条件(15)和(16).
1) 当G>0时,
(27)
和
(28)
则
(29)
2) 当G=0时,
(30)
和
(31)
则
(32)
证首先,对(3)和(4)在Rn×[0,s]上积分,得
(33)
ε(t)-R(t)≥ε(0)-qMZ(0).
(34)
因此,
(35)
n(γ-1)ε(t)-n(γ-1)R(t)≥n(γ-1)(ε(0)-qMZ(0)).
(36)
因此,
(37)
另一方面,令x(t;x0)表示当t=0时,粒子在x0的路径,即
(38)
则由(38),用Ω(t)表示x在BR0中形成的闭域,即
Ω(t)={(x,t)|x=x(t,x0),∀x0∈BR0}.
(39)
suppρ⊆Ω(t)⊂BR(t).
(40)
从 (22) 中可以估计转动惯量的上界,如下所示:
(41)
因此,从(35),(37)和(41)中,可以得到命题1的第1个结论.
当G=0时,此时W(t)=0,A(t)=2Ek(t)+n(γ-1)Ei(t),ε(t)=Ek(t)+Ei(t)+R(t).
2ε(t)-2R(t)≥2(ε(0)-qMZ(0)).
(42)
由此得
H(t)≥(ε(0)-qMZ(0))t2+F(0)t+H(0).
(43)
n(γ-1)ε(t)-n(γ-1)R(t)≥n(γ-1)(ε(0)-qMZ(0)).
(44)
此时,
(45)
同(41),证得命题1成立.
的解,若ρ和θ满足如下关系式:
当ρ=0时,θ=0.
(46)
则得
u≡0,x∈BcR(t).
(47)
进一步,可以得出当0 证根据(2),(3),(40)和(46),在{t}×RNΩ(t)中有 (48) 由(5)计算可得 div(uT)-udivT= (49) 这里假设λ≤0,根据 (48),(49) 和柯西不等式,得到在{t}×RNΩ(t)上: (50) 同理,对于λ>0可得 (51) 因此,由(50)和(51)可得 (52) 因此,从(52)和u∈Hn(Rn)推出 u=0在 {t}×RNΩ(t)上. (53) 从(52)和Ω(t)的定义得出,对于x0∈∂BR0, (54) u(x(t;x0),t)=0. (55) 所以,对于0≤t≤T,得到R(t)=R0. 证毕. 结合命题1和引理2推断出定理1是成立的.
