李克讷 袁伟明 唐春怡 刘超 贺之祥 曾卓维
摘 要：为提升六自由度机械臂的绝对定位精度，提出了基于Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）方法的机械臂几何参数标定方法：在建立基于微分变换理论和MD-H建模方法的机械臂末端定位误差辨识模型的基础上，用最小二乘法求解去除冗余参数的误差辨识模型，得到机械臂几何参数误差，并通过修正运动学几何参数，实现了对机械臂末端绝对定位精度的补偿。对机械臂6组样本点实测结果表明：经过运动学参数辨识和补偿修正后，机械臂末端絕对定位精度得到显著提高，验证了该参数辨识方法的可操作性和有效性，为后续参数标定技术研究提供参考。
关键词：六自由度机械臂；
绝对定位精度；
运动学参数辨识；
误差补偿；
最小二乘法
中图分类号：TP241 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.03.011
0 引言
机器人定位精度是评估机器人综合性能的重要指标之一，可衡量机器人末端到达预期工作空间的准确程度[1-2]。定位精度可分为重复定位精度和绝对定位精度[3]。在实际生产应用中，机器人的重复定位精度高，能够满足大部分场合的需求。由于受机械部件加工、装配产生的误差以及在使用过程中出现磨损等因素的影响，使得机器人的实际结构参数（如连杆长度、关节角度等）存在误差，导致机器人绝对定位精度低[4-5]。目前，提高机器人绝对定位精度的方式主要是在不改变机器人的硬件结构以及控制器的条件下，通过建立机器人几何参数与末端位姿误差映射关系来修正补偿机器人末端的定位精度，即运动学参数标定方法[6]。该方法因经济成本低、普适性强且效果显著而被广泛应用于提升机器人绝对定位精度研究中[7]。
运动学参数建模是几何参数标定方法的基础[6]。目前，Denavit-Hartenberg（D-H）建模方法因所需参数最少、建模简单的优点成为运动学几何参数标定常用的建模工具[8]。但当机器人存在相邻2个关节轴线平行或接近平行时，会出现机器人连杆的几何参数突变情况（如连杆偏移量变化很大甚至到无穷），使得模型存在奇异性[9]。为解决此问题，文献[10-12]分别提出POE（post occupancy evaluation，POE）模型、CPC（compound parabolic concentrator，CPC）模型和六参数模型，很好地满足了运动学模型连续性要求，但仍存在理论复杂、求解困难、与目前的机器人控制器适配性差、不容易实现参数补偿等问题。Hayati[13]提出Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）建模方法，即当机器人存在相邻关节轴平行或接近平行的情况时增加一个绕Y轴旋转的参数。该方法有效解决了D-H模型的参数突变问题，并继承了D-H模型建模简单、适用范围广、可操作性强的优点。文献[14]基于MD-H方法建立运动学误差模型，在实验中取得了较好结果，验证了该建模方法的有效性。
本文针对相邻关节平行的六自由度机械臂存在绝对定位精度较低、机械臂末端位置误差较大的问题进行研究。为满足机械臂的工作需求，提高机械臂绝对定位精度，建立基于MD-H建模方法和机器人微分运动理论的机械臂末端位姿误差模型，应用最小二乘法求解误差模型，再对机械臂进行绝对定位精度修正补偿实验。
1 运动学参数辨识模型建立
1.1 运动学建模与仿真验证
本文针对6个旋转关节的六自由度机械臂进行研究。运动学模型是机械臂参数标定的基础，采用目前最为广泛的D-H建模方法[15]。依照D-H建模原则，首先构建6个连杆坐标系。坐标系[Zi]轴定义：根据旋转关节[（i+1）]的轴线和关节转向，采用右手定则确定；
坐标系[Xi-1]轴定义为：2个相邻关节轴线的公垂线重合，其方向是从[Zi-1]轴指向[Zi]轴；
坐标系原点[O0]定义为：在过[Zi-1]轴和[Zi]轴的公法线与[Zi-1]轴的交点，机械臂底座中心定为基底坐标系[O0]；
坐标系Y轴由右手法则确定[16]。其次，D-H参数值定义如下，连杆长度[ai]：相邻关节轴之间连杆的距离；
扭转角[αi]：[X]轴与相邻坐标系[Z]轴的夹角；
连杆偏置[di]：相邻连杆在Z轴方向的偏移量；
关节转角[θi]：表示关节绕轴线转动的角度[17]。六自由度机械臂完整的连杆坐标系模型如图1所示。根据图1推算出机械臂D-H几何参数表的各个参数值，具体参数值如表1所示。
由误差系数矩阵[Gi]可知，机械臂末端的位置误差对机器人末端定位精度的影响比末端连杆姿态误差的影响更加直接，且在实际测试实验中末端位置坐标信息更容易测得。因此，在后续的误差参数辨识和精度补偿实验中仅分析末端位置误差[dx，dy，dzT]而不分析末端姿态[δx， δy， δzT]，即研究分析[dx]、[dy]和[dz]并减少它们的误差，从而实现对机械臂绝对定位精度的提高。
2 误差参数辨识
完成机械臂运动学模型和末端位姿误差模型的建立后，需要对机械臂工作空间内末端位置点进行测量。为了提高机械臂运动学标定的适用性和有效性，所选取的样本点需要在机械臂常用工作空间范围内。结合机械臂的关节角、硬件结构、机械限位等要求，采用蒙特卡罗方法得到机械臂工作空间的范围是：[x∈-350.4，364.3mm]，[y∈-362.3，367.3mm]，[z∈-245.4，407.3mm]。
在机械臂常用工作空间内一个正方形轨迹上选取6个点的空间位置坐标，通过逆运动学求解出这6个位置点对应的6组关节角度[θi]，如此能确保关节角[θi]满足机械臂的结构要求。将6组关节角度[θi]分别输入机械臂控制器中，使用测量工具依次测量机械臂运行后末端在基坐标系下的位置，记录为[pr]。6组样本点数据如表3所示。
由MD-H模型定义分析可知[d1]、[d2]、[β1]、[β3]、[β4]、[β5]、[β6]为冗余参数，不需要辨识，因此机械臂误差模型需要辨识23个几何参数。根据上文建立的机械臂末端误差辨识模型（式（14））可知，辨识的参数误差[Δm]越准确，则误差模型中的[JΔm]计算出的解将会越靠近实际误差值[E]。所以对模型辨识出的误差结果进行最小化准则：minimize[ E-JΔm]。
最小二乘法求解通式如式（15）所示：
[Δm=（JTJ）-1JTE]. （15）
式中：[Δm]是[23×1]的误差参数矩阵，[（JTJ）-1JT]是[J]矩阵的左广义逆矩阵。由于[J]矩阵不是方阵，不能直接求逆，用[J]矩阵的左广义逆矩阵来代替逆矩阵。
参数辨识的具体步骤为：
Step 1 将样本的6组关节角度数据[θi]分别结合表2的机械臂几何参数数值，通过正运动学模型，计算得到6组末端连杆的理论位置坐标点[pn]；
Step 2 将样本的6组关节角度数据[θi]分别输入机械臂控制器中，控制机械臂运动，测得机械臂末端连杆的位置坐标[pr]；
Step 3 用实际测量的位置坐标[pr]减去理论位置坐标[pn]得到实际位置误差[ΔE]；
Step 4 将6组实际位置误差[ΔE]代入建立的机械臂运动学几何参数辨识模型（式（15））中，使用最小二乘法求解误差模型，得出6组几何参数误差，对6组参数误差求取平均值得到误差参数的修正值[Δm]。
机械臂MD-H模型参数辨识结果如表4所示。
由表4可见，通过误差模型求解得到参数误差，证明建立的运动学模型与机械臂实际结构存在偏差，实际影响机械臂运动学参数误差的因素主要是由零件加工制造、机械臂装配偏差引起[21]。其中，长度类误差[Δai]、[Δdi]和[Y]轴旋转量误差[Δβi]是由于机械臂在加工、装配过程中的误差和轴承窜动引起的。关节扭转角偏差[Δai]是指关节旋转轴轴线与理论坐标系坐标轴的偏差，与角度传感器的安装误差有关。而关节角误差[Δθi]属于编码器误差，主要是伺服电机中关节编码器的零位角度误差。其次，在数据采集过程中存在测量误差，在使用最小二乘法求解误差模型过程中存在计算误差，这些误差也会对机器人运动学参数产生影响。研究结果表明，机器人各关节的几何参数误差对绝对定位误差的影响占据系统总误差的80%～90%[22-23]。因此，修正机械臂的几何参数误差对提升机械臂的绝对定位精度极其重要。
将通过求解误差模型所辨识出的表4中的参数误差值补偿到已经建立的机械臂MD-H模型参数中，即在表2的MD-H参数值基础上加上表4参数的修正值，得到修正后的机械臂MD-H参数，如表5所示。
3 精度补偿实验及标定结果分析
使用修订后的运动学参数（表5的数据）建立MD-H模型，输入表3中6组样本点的关节角度[θi]，得到修正后的理论位置坐标[p"n]。模型修正后的位置误差数据[E"]由实际的测量位置坐标[pr]减去修正后的理论位置坐标[p"n]得到。在此次实验中，只需要重新计算机械臂末端理论位置，不需要重新测量参数误差补偿后的机械臂末端位置，可降低因测量误差带来的误差影响。6组样本点位置数据经过误差参数修正后的结果如表6所示。
机械臂末端绝对定位精度在标定补偿前后的对比如表7所示。由表7统计量前后对比可知，机械臂末端的绝对定位精度大幅度提升。
4 结论
本文针对六自由度机械臂设计了一种低成本、易操作的运动学参数标定方案。首先，对六自由度机械臂建立运动学模型，以及基于MD-H和微分运动理论的机械臂末端定位误差辨识模型；
其次，将测量采集样本数据代入误差辨识模型中，应用最小二乘法求解误差模型得到参数误差；
最后，修正机械臂运动学几何参数，通过重新计算机械臂理论位置与实际测量位置的误差来体现标定补偿的效果。实验结果表明，经过修正补偿后的机械臂绝对定位精度明显提高，证明本文提出的辨识方案是有效的。由于实验器材的限制，实验样本点测量只能精确到0.1 mm，对最终标定结果产生了一定的影响。在后续研究中，将着手提高测量精度，选取适合的智能算法应用于参数标定模型中，从而进一步提升机械臂的绝对定位精度。
参考文献
[1] 乔宁宁.工业机器人技术的发展与应用分析[J].新型工业化，2021，11（11）：85-87.
[2] 王田苗，陶永，陈阳.服务机器人技术研究现状与发展趋势[J].中国科学：信息科学，2012，42（9）：1049-1066.
[3] 周炜，廖文和，田威，等.基于粒子群优化神经网络的机器人精度补偿方法研究[J].中国机械工程，2013，24（2）：174-179.
[4] 陈启军，周自强，刘成菊，等.基于视觉的六自由度机械臂运动学参数辨识[J].同济大学学报（自然科学版），2020，48（7）：1023-1029.
[5] 王琨.提高串联机械臂运动精度的关键技术研究[D].合肥：中国科学技术大学，2013.
[6] 赵艺兵，温秀兰，乔贵方，等.基于几何参数标定的串联机器人精度提升[J].计量学报，2020，41（12）：1461-1467.
[7] 高涵，张明路，张小俊，等.机械臂绝对定位精度标定关键技术综述[J].计算机应用研究，2017，34（9）：2570-2576.
[8] 徐天一，樊留群，王楠，等.基于激光追踪仪的机器人标定及误差分析研究[J].制造业自动化，2020，42（4）：61-64.
[9] 劉罡，汪俊锋.基于多体动力学的六足机器人快速步态研究[J].广西科技大学学报，2021，32（2）：51-57.
[10] WU L，YANG X D，CHEN K，et al.A minimal POE-based model for robotic kinematic calibration with only position measurements[J].IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2015， 12（2）：
758-763.
[11] 陈新伟，范崇山，孙凤池，等.一种基于指数积的移动机械臂联合标定方法[J/OL].控制与决策，2022：1-7[2023-01-01].https：//kns.cnki.net/kcms2/article/abstract？v=3uoqIhG8C45S0n9fL2suRadTyEVl2pW9UrhTDCdP D67Qai861I8G_Sb_tFU2JyEtX9vdWpyVcJ_KkCT-2y_ HK8CR9RGDp93t&uniplatform=NZKPT.DOI：10.13195/ j.kzyjc.2021.1844.
[12] ZHUANG H，ROTH Z S，HAMANO F.A complete and parametrically continuous kinematic model for robot manipulators[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation，1992，8（4）：451-463.
[13] HAYATI S A.Robot arm geometric link parameter estimation[C]//Proceedings of the 22nd IEEE Conference on Decision and Control，1983：1477-1483．
[14] LIU Y，JIANG Y S，LIANG B，et al.Calibration of a 6-DOF space robot using genetic algorithm[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2008， 21（6）：
6-13.
[15] WEN X L，WANG D X，ZHAO Y B，et al.A comparative study of MDH and zero reference model for geometric parameters calibration to enhance robot accuracy[C]//9th International Symposium on Precision Mechanical Measurements，SPIE，2019，11343：64-69.
[16] 唐越，郑金辉，王庆杰.六自由度工业机器人末端定位误差参数辨识与实验研究[J].现代制造工程，2021（2）：21-26.
[17] 叶声华，王一，任永杰，等.基于激光跟踪仪的机器人运动学参数标定方法[J].天津大学学报，2007，40（2）：202-205.
[18] 李克讷，王温鑫，胡旭初，等.Arduino环境下冗余度机械臂E47算法的实现[J].广西科技大学学报，2022，33（2）：74-82.
[19] 张虎.面向标定的工业机器人建模及参数辨识方法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2015.
[20] 徐彬.六自由度工业机器人运动学标定方法研究[D].赣州：江西理工大学，2020.
[21] 覃志奎.6自由度机器人位姿误差建模与补偿方法研究[D].武汉：华中科技大学，2018.
[22] LIM H K，KIM D H，KIM S R，et al.A practical approach to enhance positioning accuracy for industrial robots[C]//ICROS-SICE International Joint Conference，IEEE，2009：2268-2273.
[23] WANG X，LI D S，WANG M M.Complete calibration of industrial robot with limited parameters and neural network[C]//IEEE International Symposium on Robotics and Intelligent Sensors，IEEE，2016：103-108．
Research on kinematic parameter calibration of six degrees of
freedom manipulator
LI Kene， YUAN Weiming， TANG Chunyi， LIU Chao， HE Zhixiang， ZENG Zhuowei
（School of Automation， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China）
Abstract：
To improve the absolute positioning accuracy of the 6-DOF manipulator， a calibration method for geometric parameters of the manipulator based on Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）method was proposed. Firstly， based on differential transformation theory and MD-H modeling method， the calibration model of manipulator end positioning error was established. Secondly， the least square method was used to solve the error identification model with redundant parameters removed， and the geometric parameter error of the manipulator was obtained. Finally， by modifying the kinematic geometric parameters， the absolute positioning accuracy of the end of the manipulator was compensated. The experimental results of 6 groups of sample points of the manipulator show that the kinematic parameter calibration and compensation correction significantly improve the absolute positioning accuracy of the end of the manipulator， which verifies the operability and effectiveness of the parameter calibration method， and also lays a foundation for further research on the subsequent parameter calibration technology.
Key words：
six degrees of manipulator; absolute positioning accuracy; kinematic parameter calibration; error compensation; least square method
（責任编辑：黎 娅）
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