李 旻 周 铸 吕志彪 夏宇轩 宦爱奇
（1.海军装备部驻武汉地区第二军事代表室 武汉 430000）（2.海军工程大学 武汉 430000）（3.中国人民解放军92768部队 汕头 515000）（4.中国人民解放军91206部队 青岛 266000）
无人水下航行器（Autonomous Underwater Vehicle，AUV）以其体积小、成本低、能完成多样化任务等特点，在科学研究、商业开发和军事应用中都具有重要的作用，这些应用包括近海油田勘探、海洋测绘、水下结构检查、反潜战、海洋调查等［1～4］。而良好的操纵控制能力是AUV 进行海底作业的重要保证。Kokotovic 和Kanellakopoulos［5］等于1991年提出了反步法（backstepping）控制方法，它能有效处理非线性控制问题。1995年，Krstic［6］等对该方法进行系统地整理和归纳，建立了反步设计的基本框架。LaPierre 和Jouvencel［7］设计了一种运动学控制器，用于处理基于反步法和李雅普诺夫理论的动力学问题。Bouadi 等［8］在反步法中加入动态面控制技术，将反步法中微分运算转化为简单的代数运算，避免了“微分爆炸”问题并且降低了算法的复杂性。Xu 等［9］使用二阶滤波器替代微分，在避免“微分爆炸”的同时，克服了动态面代替微分时噪声信号放大的问题。针对AUV 的路径跟随和轨迹跟踪问题，马艳彤等［10］提出一种不依赖模型的改进型PID 控制算法，，通过对增设的左右水平推进器进行控制，实现了AUV 低速时水平面的精确航行，von Ellenrieder 等［11～12］提出了自适应切换监督控制与基于非线性李雅普诺夫的跟踪控制律相结合的方法，用来解决欠驱动AUV 在可能存在较大建模参数不确定性的情况下的路径跟随和轨迹跟踪问题。
本文在文献［7］的基础上，使用二阶滤波器替代直接微分项，设计海流观测器估计未知海流干扰，同时设计改进反步控制器解决AUV 强非线性问题，实现AUV 的速度、航向和纵倾控制，最后采用变前视距离LOS 法设计了AUV 直线路径跟随算法。
本论文采用国际水池会议（ITTC）推荐及造船与轮机工程学会（SNAME）术语公报的体系［13］。AUV 运动的惯性坐标系（I系）和载体坐标系（B 系）如图1 所示。I 系坐标系取地球切平面坐标系，原点取地球椭球体表面某固定点，坐标轴定义为北东地（NED）。B系原点取为AUV浮心，坐标轴指向定义为前-右-下。
图1 惯性坐标系和载体坐标系
1）运动学方程
AUV 的运动学方程不涉及对象的受力分析，主要描述载体位置和姿态随时间变化的规律，AUV的运动学方程为
2）动力学方程
AUV与海流的相对速度为
其中，为载体系下的海流速度，则海流干扰下AUV动力学方程为［14］
其中，M为惯性及附加质量阵，CRB(v)为刚体科里奥利力阵，CA(v)为附加质量科里奥利力阵，D(v)为阻力阵，g(η)为恢复力阵，τ为驱动力矢量。
3.1 控制器设计
本文基于李亚普洛夫第二法，采用反步法设计AUV 的速度/航向/纵摇/横摇控制器。令控制力
其中eu、eφ、eθ、eψ均为控制变量，eu=ud-u，eφ=φd-φ，eθ=θd-θ，eψ=ψd-ψ，Kc为控制系数矩 阵，且Kc∈R4×4，Kc＞0。设控制误差变量为
其中，α为虚拟控制量，由式（2）可得：
其中：
其中：
选取虚拟控制量αp为
式（13）代入式（12）可得：
其中：
将式（7）代入动力学模型式（4），可得：
选取李雅普诺夫函数V2为
对式（18）求导可得：
令：
设计六自由度上的控制力τ为
显然0，由李雅普诺夫第二法可知，控制系统稳定。纵向、横摇、纵摇和转艏维度上的控制力为
3.2 滤波器设计
上述设计的反步法控制算法包含对虚拟信号的导数，为避免直接对信号解析求导导致“微分爆炸”问题，本文使用二阶滤波器代替直接微分，定义如下滤波器：
其中，xc0为输入信号，xc为输出信号，q1，q2为中间变量，ζ和ωf为滤波器参数，由上式可得xc0到xc的传递函数为
式中，ωf为自然频率，ζ为阻尼。滤波器的结构如图2所示。
图2 滤波器结构图
由式（25）可知是通过积分而非微分得到的，从而可以较大的减少噪声的影响。
3.3 抗积分饱和设计
考虑到积分项可能出现的积分饱和问题，使用反计算的方法对控制回路进行抗积分饱和设计［15］，这一方法的优点是，当系统发生饱和溢出时抗积分饱和项对系统进行反馈补偿，当系统未饱和时，则不产生影响。设计抗积分饱和如下：
In=In-1+KiTseu
其中，eu为误差量，In为当前时刻误差积分量，In-1为上一时刻误差积分量，Ki为积分系数，Ts为采样时间，vn为控制器输出值，umax饱和积分上限，umin为饱和积分下限，Kt为抗饱和增益。抗积分饱和结构图如图3所示。
图3 抗积分饱和结构图
3.4 海流观测器设计
本文采用基于模型的方法进行海流观测器设计，如前文所述，水下航行器速度vB和姿态角Θ 通过导航设备测量得到，控制力τ由舵角和螺旋桨转速计算得到。由AUV 运动学和动力学方程，设计观测器，实现常值海流速度的估计。
当AUV 姿态产生变化时，载体坐标系下的海流速度向量随之变化，其值为
令R( Θ )简写为R，对式（27）等号两边同时求导，由于可得
又由于
可得：
其中S(ω)为反对称矩阵。
令：
结合式（3）和式（31）可得：
根据式（4）和式（32），设计海流观测器如下：
其中：
K1、K2为观测器增益矩阵，其元素均为常数。，K2=diag{k21，k22，k23，k24，k25，k26}。K2=＞0 ，当K1、K2满足式（35）时，海流观测器误差可全局渐进稳定。
视线导引［16］（Line of Sight，LOS）法最大的优点就在于其不依赖于被控对象的模型，能够在模型参数不确定的情形下，或是在外界扰动对AUV 影响较大的环境中来设计控制器，实现对目标模型的控制作用。此外，LOS 法的设计简单，抗干扰能力强，控制效果出色也是其经常被应用的主要原因。
LOS 法的原理图如图4 所示，其基本思想是在两个航路点Pk(xk，yk)和Pk+1(xk+1，yk+1) 之间的直线上定义一个前视点，从被控对象当前位置到前视点的矢量被称为LOS矢量，该矢量的方向即为被控对象的期望航向。期望航迹向角为
图4 LOS原理图
其中：
χp为路径切向角，χr(e)为矢量LOS 方向和轨迹误差e之间的夹角，Δ 为前视距离。Δ 的取值大小会影响跟踪速度，Δ 越小跟踪航线越迅速，但Δ太小又会影响整个导引系统的稳定性。在实际导引过程中，我们希望轨迹偏差较大时，AUV 能迅速靠近期望轨迹，此时需要较小的前视距离；
在轨迹偏差较小时，AUV 能缓慢平滑地接近期望轨迹，此时需要较大的前视距离。由此思想，设计以下变前视距离：
其中，Δmax、Δmin分别为前视距离的最大值和最小值，k为调节系数。
式（38）同样可以表示为
考虑侧滑角，对期望航向角进行修正，期望航向可由下式表示：
其中，β=arctan(v/u)。
2）直航线段切换
当有多个航路点时，需考虑航路点的切换。常用的方法是为每个航路点设计一个转向切换圆，切换圆半径为R，R根据航行任务需要和船的转向能力确定。如图5所示，当前位置P(x，y)可测量得到，为下一航路点，计算当前位置和下一航路点Pk+1之间的距离L，当L满足式（42）时，表示AUV 进入切换圆范围，则切换到下一个航路点。
图5 航路点切换示意图
1）单直线航段路径跟随仿真
初始航路点坐标为（0，0），目标航路点坐标为（200，-100），指令速度ud=1.5 m/s。在100s时加入海流干扰仿真结果如图6～10 所示。
图6 跟踪轨迹
由图6和图7可以看出，直线路径跟随情况下，变前视距离和固定前视距离LOS 两种导引法均能使AUV 跟踪上参考路径，但变前视距离LOS 法的轨迹跟踪误差能更快收敛到0 附近，其跟踪速度更快，在接近参考路径后，变前视距离LOS 导引法跟踪更为平缓；
在150s 加入海流干扰后，轨迹误差均能在一定时间内收敛到0附近，AUV 仅较小的偏离参考路径后就快速回到参考轨迹，两种导引方法对海流干扰均具有一定的鲁棒性，且两种导引法的抗干扰能力并无较大差异，究其原因，变前视距离LOS 导引法仅在轨迹误差较大时会有明显优势。由图8 和图10 可以看出，在100s 加入海流干扰后，AUV 会产生稳定的横向速度使其产生漂移，加入侧滑角项之后，导引律会对指令航向角进行修正，产生新的指令航向角以消除侧向速度产生的影响，最终可使AUV跟踪上参考路径。
图7 轨迹误差
图8 航向角
图9 纵向速度
图10 横向速度
2）多直线航段路径跟随
图11 轨迹对比
图12 轨迹误差对比
图13 航向跟踪图
图14 纵向速度跟踪图
由图11～14 可以看出，多航路点路径跟随情况下，变前视距离和固定前视距离LOS两种导引法均能使AUV 跟踪上参考路径，且海流干扰对导引过程影响不大，航路点的跟踪能进行良好的切换。在航路点处进行变向时，变前视距离LOS法的轨迹跟踪误差能更快的跟踪上参考路径，在接近参考路径后，变前视距离LOS 导引法跟踪更为平缓。
由图15可以看出，在100s加入海流干扰后，因AUV航向方向在不断变化，其受到的海流干扰在AUV 横向的分量在不断变化，使其产生变化的横向速度v，但由于加入侧滑角进行修正，使AUV 产生了随横向速度v同步变化的指令航向角，最终使AUV 跟踪上参考路径。
图15 横向速度
本文通过分析AUV 运动学和动力学特性，构建了六自由度AUV 的数学模型，使用反步法设计了控制器，并且使用二阶滤波器和抗积分饱和对控制器进行了改进，设计海流观测器成功估计了未知海流干扰并将其反馈给反步控制器，采用变前视距离LOS 导引法设计了直线路径跟随算法。通过Matlab仿真分析，所设计的改进反步法控制器能较好地实现AUV 的操纵控制，所设计的直线路径跟随算法能较好地实现AUV 的二维路径跟随。为下一步实现AUV 的三维轨迹跟踪打下了良好的基础。
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