路娟玲,刘建成
(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)
设(Mn,g)是n维Riemann流形,若存在Mn上的光滑向量场X和光滑函数λ,使得
则(Mn,g)称为近Ricci孤立子,记作(Mn,g,X,λ),其中Ric表示Mn的Ricci曲率张量,LXg表示度量g沿X方向的Lie导数,X称为孤立子场,λ称为孤立子函数.若孤立子场X可以表示为一个光滑函数f:Mn→的梯度,即X=f,则Mn称为梯度近Ricci孤立子,记作(Mn,g,f,λ),此时孤立子方程变为
Ric+2f=λg,
Ricci流[1]即抛物型的Einstein方程,研究者们利用该理论已证明了针对三维紧致流形提出的Thurston几何化猜想.梯度Ricci孤立子是Ricci流的第一类奇点模型[2],因此研究梯度Ricci孤立子对Ricci流的奇点分析具有重要意义.文献[3]中定理2.3的刚性结果表明,近Ricci孤立子是对Ricci孤立子的一个合理且概括性的推广,其存在性比Ricci孤立子更易证明,而且近Ricci孤立子还包含了其他几何流,例如Ricci-Bourguignon流[4]的自相似解族(其自相似解族是孤立子函数为λ=kR+v的梯度近Ricci孤立子,k,v∈,R表示数量曲率).在势函数f的任意正则点附近,Catino[5]证明了局部共形平坦(即Weyl张量W=0)的四维梯度近Ricci孤立子局部上是具有三维常截面曲率纤维的卷积结构.当|f|≠0时,Deng[6]证明了半局部共形平坦(即Weyl张量的反自对偶部分W+=0或自对偶部分W-=0)的四维梯度近Ricci孤立子是局部共形平坦的.另一方面,在附加径向Weyl张量为零的条件下,Catino[5]证明了具有调和Weyl张量(即divW=0)的四维梯度近Ricci孤立子在f的任意正则点附近具有三维Einstein纤维的卷积结构.进一步,Neto[7]将上述调和Weyl张量的条件减弱为Weyl张量反自对偶部分的散度为零,得到了同样的结论.
对紧致的四维梯度近Ricci孤立子,在div4W=0和W(f,·,·,·)=0的条件下,Co等[8]证得了流形局部上是具有三维Einstein纤维的卷积结构; 若再对势函数f附加适当的条件,则上述结论对四维完备梯度近Ricci孤立子同样成立.此外,对径向Weyl张量与Bach张量的散度同时为零的四维完备梯度近Ricci孤立子,若势函数f的任意水平集是紧致的,则该流形是Einstein流形或局部上是具有三维Einstein纤维的卷积结构[8].
Weyl共形曲率张量定义[9]为
任意(k,l)型张量T的g范数|T|g定义为
任意两个对称的(0,2)型张量α和β,其Kulkarni-Nomizu积是一个(0,4)型张量,记作αβ,定义为
其中X1,X2,X3,X4是切向量场.
设u是(Mn,g)(n≥3)上任意局部Lipschitz函数,f是其上的任意光滑函数,则Mn上的f-Laplace算子Δf定义为
Δfu=Δu-〈u,f〉=efdiv(e-fu).
(1)
对四维Riemann流形(M4,g)上任一点p,设{e1,e2,e3,e4}是切空间TpM的一组标准正交基,{e1,e2,e3,e4}是其对偶基,则存在唯一的丛态射*(称为Hodge星算子),使得*(e1∧e2)=e3∧e4,表明四维定向Riemann流形上的2-形式丛Λ2可以直和分解为Λ2=Λ+⊕Λ-,且该分解是共形不变的,其中dimΛ2=6,dimΛ±=3,Λ±的基有如下形式:
{e1∧e2±e3∧e4,e1∧e3±e4∧e2,e1∧e4±e2∧e3}.
因此,2-形式丛Λ2=Λ+⊕Λ-的自同构Weyl张量W有如下分解:W=W+⊕W-,其中W±:Λ±M→Λ±M分别称为Weyl张量W的反自对偶部分和自对偶部分.
本文受文献[10]的启发,在附加适当的条件下,将其中的定理1推广到完备梯度近Ricci孤立子的情形,得到以下结果.
定理1设(M4,g,f,λ)是四维完备梯度近Ricci孤立子,假设径向Weyl张量为0,即W(f,·,·,·)=0,|W+|∈L2(e-fdvg).若
(2)
或
(3)
则在f的任意正则点附近,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三维常截面曲率纤维的卷积结构,或具有三维Einstein纤维的卷积结构.
证明: 由文献[11],在四维梯度近Ricci孤立子(M4,g,f,λ)上成立
(4)
再根据f-Laplace算子的性质Δf(xy)=xΔfy+yΔfx+2〈x,y〉(x,y∈C∞(M4)),得
(5)
式(4)减式(5)得
(6)
由文献[10]知
(7)
将式(7)代入式(6)得
再由式(2)可知|W+|Δf|W+|≥0.
令φ:M4→是光滑截断函数,使得在Bp(r)上φ=1,在Bp(2r)外φ=0,并且|φ|≤c/r,其中Bp(r)是以p∈M4为球心、r为半径的测地球,c是正常数.因此
根据f-Laplace算子的定义式(1),进一步可得
即
于是
因为|W+|∈L2(e-fdvg),所以当r→∞时,式(8)右端趋于零,从而|W+|一定是常数.
当|W+|=0时,根据文献[6]知,(M4,g,f,λ)是局部共形平坦的,因此结合文献[5]的推论1.4知,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三维常截面曲率纤维的卷积结构.当|W+|≠0时,由式(2),(4),(7)简单计算可知W+=0,表明divW+=0,即(M4,g,f,λ)具有半调和Weyl张量.进一步,根据文献[7]中定理1.1与假设条件W(f,·,·,·)=0可知,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三维Einstein纤维的卷积结构.
若将假设条件由式(2)变为式(3),则由文献[11]可知
下面证明方法同上,故略.证毕.
注1当λ为正常数,即梯度收缩Ricci孤立子情形时,根据文献[10]中定理3的证明过程可知,条件|W+|∈L2(e-fdvg)自动成立,并且不需要假设径向Weyl张量为0,定理1即为文献[10]中定理1.对近Ricci孤立子,本文定理1的结论对收缩、扩张或稳定的情形都适用.
定理1对孤立子Ricci曲率的界不做任何限定,根据文献[7]的结论,定理1中条件W(f,·,·,·)=0可以由Ricci曲率相关的条件替换,从而得到如下推论.
推论1设(M4,g,f,λ)是四维完备梯度近Ricci孤立子,假设|W+|∈L2(e-fdvg).若
则在f的任意正则点附近,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三维常截面曲率纤维的卷积结构,或具有三维Einstein纤维的卷积结构.
证明: 由定理1的证明过程可知,当|W+|=0时,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三维常截面曲率纤维的卷积结构.当|W+|≠0时,(M4,g,f,λ)具有半调和Weyl张量.进一步,根据文献[7]中定理1.2及Ricci曲率的假设条件可知,孤立子(M4,g,f,λ)局部上是具有三维Einstein纤维的卷积结构.
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