阮慕瑶,葛晓虎
(1. 华中科技大学 电子信息与通信学院,武汉 430074;2. 国家绿色通信与网络国际联合研究中心,武汉 430074)
信息论自从诞生以来就和热力学有着密不可分的关系。1948年香农开创性地提出信息熵这一概念,实际上也是从热力学中熵的概念引申而来。信息熵用来描述信源的不确定度,热力学中的热力学熵则表示分子状态混乱程度的物理量,如冯诺依曼熵描述的是物理系统中粒子不同的状态。如今信息论在热力学的多分支领域均有应用[1];另一方面也带来了如何将热力学应用到通信系统中的思考。
一直以来,人们认为在非理想环境下通信过程一定伴随着能量的耗散。物理系统中发射端通过通信信道和接收端相连,被编码的粒子状态信息在信道中的传输被称为信息传输[2],同样需要能量的耗散。现实中非理想热机由于不可逆的耗散不能达到卡诺热机效率极限。因此,如何在有限的条件下传输信息而使耗散能量最低成为众多领域的研究热点。Ganesh等[3]用物理分析方法提出了前馈神经网络耗散的基本下界。Kostina等[4]研究了在无记忆高斯信道中在一定错误率的限制下传输指定符号数所需最小传输能量。这引发了进一步的思考,即现实通信系统中的热力学物理限制和信息传输效率之间的内在关系。
卡诺热机定理给出了热力学约束下的热机最大工作效率η=1-TLO/THI,其中,THI和TLO分别是高温热源温度和低温热源温度。香农定理给出了一定约束条件下的物理信道最大传输数据速率,卡诺热机效率衡量了热能转化为有用功的最大效率,其背后原理是热力学定律。高斯信道可以被看作一个被热力学定律所约束的物理信息系统[5-6],并且已有研究表明信道容量可以被重新表述为热力学定律的结果,其中对高斯噪声信道和二进制对称信道的推论都进行了例证[7]。通过热力学这一桥梁,卡诺热机定理和香农信道定理展示出本质上的共通性[8]。近年来在信息热力学领域,将信息论和热机概念结合分析通信系统的研究逐渐涌现。Kanter等[9]运用哈密顿量将通信信道建模为信息热机,讨论高斯信道的互信息等特性。Parker等[10]利用经典卡诺定理分析了兰道尔原理和香农极限的一致性,并推导了包含非高斯噪声统计量的广义香农信道容量定理。Chen等[11]提出的一个广义不可逆卡诺热机模型分析了最大输出功率和最大效率之间的关系。
此外,大多数文章只是建立在端到端的通信系统模型上分析,着重于对广义通信和热力学之间关系的阐述与推导[9-11],而未基于现有的多天线通信系统场景下结合热力学对信道容量进行分析推导,从而进一步验证通信和热力学的内在关联。本文更加详细地研究5G(5th generation,5G)大规模多输入多输出(multiple input multiple output,MIMO)多天线场景[12-13],从分析能量流动的普遍适用工具——热力学第二定律出发,以全新的物理信息角度分析了大规模MIMO通信系统信息流的传输和处理过程。结合卡诺热机定理和信息论,引入自由度、温度、能量、熵等热力学参数构建了大规模MIMO场景下的信道容量,揭示了无线通信系统中信息、熵与能量之间的本征关系。
1.1 信息热机中能量的流动形式
热力学理论,特别是热力学第二定律,是分析能量流动的普遍适用工具[14]。本节将介绍信息热机和传统卡诺机的相似性,在卡诺热机模型基础上结合热力学理论对MIMO通信系统中的能量流和信息流进行建模分析。
三种热机的原理如图1所示。图1a中,热机进行卡诺循环从一个高温热库THI吸取热量QH,转化为一部分功W,剩余热量QL=QH-W排入低温热库TLO。图1b中,当熵被视作为一种做功潜力的度量时[10],低熵代表系统更加有序[15],有序系统比无序系统的做功潜力更高。低熵库HLO的熵流入热机被转换为输出熵流HOUT,剩余熵流入高熵库HHI。本文中熵流被表示为热量与相应温度的比值,见图1b中的ΔHHI和ΔHLO。其中,ΔHHI=ΔU/THI,ΔHLO=(ΔU-W)/TLO,ΔU是从低熵库吸收的能量,W是对外所做功。图1c是信息热机原理图,热机可以对应通信过程中的信息处理模块甚至是信道,热机从高信息库获得的信息IHI转化为一部分输出有用信息IOUT,剩余的信息ILO被排入低信息库,例如现实中的算法对输入数据进行处理后输出想要的计算结果,但是总会丢弃一部分冗余或者不需要的额外信息(变量)。我们将信息热机的效率定义为η=IOUT/IHI。根据以上信息热机模型构建一个具体的大规模MIMO通信系统,进而对各部分进行详细分析。在此之前,我们认为有必要介绍一下信息的物理表达形式。
1.2 信息的物理表达形式
系统的宏观状态以微观状态的分布为特征,这个分布的熵由Gibbs熵公式给出。对于一串由脉冲组成的信息序列,不同码字对应着不同微观态。在二进制场景下对应的微观态表示为0或1。则单个码字的Gibbs混合熵为[16]
(1)
(1)式中:Ω是信息码元种类集合数;kB是玻尔兹曼常数(kB=1.38×10-23);pj为每种状态出现的概率。假设一串长度为M比特的二进制序列,其中,符号之间相互独立且服从Pr(X=1)=Pr(X=0)=1/2的伯努利分布,Pr表示概率。则序列的Gibbs总熵为
(2)
在众多领域中,熵是一种度量系统不确定性状态的量,同时熵也可以度量系统的自由度数量[17]。信息序列的熵越大,表示它所携带的信息量越大,系统的自由度也更大。例如,1 bit指一位二进制符号所携带的信息量,或者是从0,1两种状态选择其一的自由度,也是下一时刻选择何种符号发送的自由度。在这里我们引入自由度这一概念来表征信息序列。根据(2)式,信息序列的Gibbs熵H和自由度M之间的关系为
H=kBMln2
(3)
(4)
图1 三种热机的原理示意图Fig.1 Schematic diagrams of three heat engines
1.3 大规模MIMO通信系统模型
MIMO通信系统的热力学模型示意图如图2所示。这是一个nt×nr的大规模MIMO通信系统,nt为发射端天线数;nr为接收端天线数,通常在大规模MIMO通信场景下nt≫nr。每条支路上原始自由度为MS的信息序列增加冗余检错码后被映射为自由度为MS+MFEC的码字(MFEC为冗余纠错码的自由度),再经由多根天线发送出去。信道噪声将每个码字随机地转换为多个序列的统计混合,然后通过接收端的译码操作将每个序列映射成原始信息中的对应码字。在这里冗余纠错位为前向纠错码(forward error correction, FEC),前向纠错码通过在已编码的消息中构建冗余来提供噪声抗扰性。在接收端通过不可逆转(即逻辑上不可逆)解码操作将冗余从信道损坏的码字中移除从而大概率地恢复出原始信息,剩余的冗余信息将流入图2中的噪声池。这种逻辑上的不可逆解码操作将冗余从信道损坏的码字中移除的过程,对应的物理实现过程也会不可避免地导致热量耗散。正如Landauer等[19-20]提出的,“解码本质上是能量耗散的”。
(5)
有噪信道中引入的各支路噪声自由度之和为
(6)
(5)—(6)式中:上标N表示与噪声有关的参量,上标FEC表示与前向纠错码有关的参量;下标i(j)表示第i(j)根发射(接收)天线端信号有关的参量;Ti为第i根天线发射信号的温度;Ui为第i根天线发射信号的能量,1≤i≤nt,1≤j≤nr。
假设整个信息过程中的自由度守恒,即经由所有发送天线的自由度与信道中引入的噪声自由度之和等于到达接收端探测器的所有自由度,探测器端的自由度表示为
(7)
(7)式中:U表示接收端探测器接收到的总能量;THI为探测器的温度。结合(5)—(7)式,得
(8)
(8)式中的THI可进一步表示成
(9)
图2 MIMO通信系统的热力学模型示意图Fig.2 Schematic diagram of thermodynamic model of MIMO communication system
1.4 传输每比特需要耗散的能量
对于图2中虚线框内的解码模块,探测器(如天线系统)将接收到的所有支路信号经由信息处理器(可理解为译码)恢复出原始信号流,从信道中携带的一部分噪声以及最初的前向纠错码所携带的自由度流入噪声池,如图3所示。
图3 接收端进行信息译码操作的熵变过程Fig.3 Entropy evolution during information decoding operation
在这个过程中,熵是守恒的,即
HU=HO+HNS
(10)
(10)式中:HU是接收端所有接收信号的熵;HO是经过解码模块后(对应图3中的信息热机)的信息序列所携带的熵;HNS是流入噪声池(noise sink,NS)的熵。由(4)式和(10)式得
(11)
kBTLOln2
(12)
min(Eper_bit)=kBTLOln2
(13)
这表示传输1 bit所需要耗散的最小热量为kBTLOln2,这也是Eper_bit的下界。这个结论在一定程度上符合Landauer提出的“擦除1 bit信息所需的能耗下限为kBTln2”,即Landauer原理[21]。对于流入噪声池中的残余信息流的表达式为
(14)
(15)
(15)式表明最终得到的信号自由度和流入噪声池的所有自由度之间的比例关系,而系数为卡诺效率ηc。当高温热池THI和低温噪声池TLO之间的温度差dT越大,卡诺效率越高,实际最终得到的信息量也越多,即信息传输效率越高。
利用信道矩阵数学方法计算出m×mMIMO通信系统的香农信道容量为
(16)
(16)式中:B为信道带宽;ρi为第i个子信道的信噪比;λi为第i个子信道的功率增益。利用热力学参量推导出广义热力学信道容量,并说明其与(16)式的不同之处。
假设噪声功率定义为PN=kBTB,T为环境温度。则单位时间τ内流入噪声池内的能量UNS=PNτ=kBMNSTLOln2,进一步得到在接收端解码过程的第j条支路流入噪声池的自由度近似为
(17)
将(17)式代入(15)式,并对等式两边同时微分得
(18)
(19)
(20)
(21)
CLO≤C≤CHI
(22)
(22)式中:
部分仿真参数设置如表1所示。
表1 仿真的主要参数
图4展示了热力学信道容量随噪声自由度变化的关系图。随着噪声自由度的增大,MN≫MS+MFEC,热力学信道容量将越来越逼近香农信道容量,(21)式在这种情况下退化为(23)式。从图4可以看出,相对来说,高斯噪声对热力学信道容量来说是“有益”的噪声,而脉冲噪声的影响相比之下要“恶劣”得多,因为在这种情况下,噪声的自由度为1。
(23)
图4 热力学信道容量随噪声自由度变化的关系图Fig.4 Relationship between the channel capacity and the degrees of freedom of noise
图5 热力学信道容量随编码开销变化的关系图Fig.5 Diagram of the relationship between channel capacity and coding overhead
热力学理论是分析能量流动的普遍适用的工具。与许多其他自然过程和系统类似,我们将通信系统和环境交互的过程看作是耗散转换过程,这是由于参与系统与其周围环境之间存在着能量的交互。本文介绍了如何基于热力学联合传统卡诺热机对大规模MIMO通信网络的信息流与能量流进行建模,引入热力学参量对通信系统各部分进行表征与模型推导,最终得到了基于热力学的广义信道容量表达式。仿真结果展示了热力学信道容量和香农容量之间的一定差距,并给出了解释。在未来5G通信能效优化场景中[22-23],结合热力学分析理论和传统信息论构建优化模型是一个有意义的开放性问题,而该问题的解决将推动新一代通信技术革命。
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