白孝栋，蔚夺魁，冯国全
（中国航发沈阳发动机研究所，沈阳 110015）
鼠笼式弹性支承常用于日益趋于柔性化的现代航空发动机和燃气轮机，以实现调整临界转速和振动抑制[1]。为了使发动机具有先天优良的振动特性，目前普遍的作法是采用带有弹性支承的转子方案[2]。工程研制实践表明，鼠笼式弹性支承典型的故障模式为疲劳破坏[2-3]。整体加工的鼠笼式弹性支承由于存在较大的应力集中，容易出现疲劳裂纹，甚至发生笼条断裂，从而造成灾难性事故[2]。弹性支承的柔度特性对发动机可靠性影响很大[4]，其柔度及疲劳问题很早就引起了工程界和学术界的高度关注。
目前，鼠笼式弹性支承柔度的理论计算主要基于非笼条部分刚化的悬臂梁理论推导得出。冯国全等[2，4]考虑了鼠笼笼条截面主弯曲方向与笼条受力方向不平行的特点，完善了鼠笼式弹性支承柔度计算的理论公式，在一定程度上提高了理论公式的精确性。理论公式在计算低刚性即大柔度的弹性支承时较准确[5-7]，但对于笼条数很多的高刚性的鼠笼弹性支承，实际柔度值与理论计算值存在一定的误差[8-9]。原因是在理论公式推导过程中，不可避免地存在了基本假设，即没有考虑笼条根部倒圆和非笼条部分的变形影响。在工程设计中，如果出现现柔度设计不准问题，会导致：（1）临界转速计算存在一定误差；
（2）对转子较重的发动机，由于重力下沉导致的挤压油膜阻尼器的油膜环与油膜轴颈处于不同心状态，使用有相对误差的柔度值做预调同心不准确，从而导致挤压油膜阻尼器失效[10-11]而表现出非线性[12]。上述2 种问题都可在一定程度上引起整机振动问题[13]，进而影响整个发动机的可靠性[14-15]。因此对于笼条数很多的高刚性的鼠笼式弹性支承有必要对其柔度的数值仿真计算展开研究并分析其影响因素[8]。
本文基于有限元数值计算探讨了鼠笼式弹性支承柔度数值计算的边界条件，分析了笼条根部倒圆、非笼条鼓筒、笼条截面为矩形与扇形差异等因素的影响，并将有限元数值结果与理论公式结果进行对比。
某发动机采用的鼠笼式弹性支承结构如图1 所示。在金属套筒上铣削加工成若干笼条，通过改变笼条的长度L、宽度b、壁厚h和笼条数量N来调整柔度，从而调整临界转速、降低振动响应。鼠笼主要结构参数见表1 ，材料力学性能参数见表2。
表1 鼠笼主要结构参数
表2 材料力学性能参数
基于梁的非对称弯曲变形理论，结合鼠笼式弹性支承受力分析，考虑了弹性支承主弯曲方向与笼条受力方向不平行特点，对鼠笼弹支展开力学建模。笼条两端钢环的刚性远大于笼条的刚性，因此将笼条简化为一端固支、另一端可移动、不可转动的梁，笼条截面是近似矩形截面，主弯曲方向为径向（r方向）和切向（t方向），鼠笼弹支在横向载荷作用下产生横向变形，且各笼条端部的位移相同，如图2所示。
图2 笼条受力分析
假设鼠笼式弹性支承受垂直向上的力F，第i个笼条与位移u的夹角为i，则第i个笼条在主轴方向的变形为
与一般的矩形截面Ir、It不同，此时u与Fi方向并不相同。Fi在u方向的合力为
笼条沿圆周均匀分布，则
弹性支承端部的位移即为各笼条端部位移u，力为所有笼条端部u方向的合力，即
所以弹性支承的柔度系数为
按照式（6）即可计算鼠笼式弹性支承的柔度。
3.1 连接关系
鼠笼式弹支结构连接关系如图3所示，法兰面（A面）通过均匀分布螺栓与机匣连接。B面承受轴承载荷，其与轴承外环接触，载荷通过轴承外环作用于B 面。
图3 鼠笼式弹支结构连接关系
3.2 边界条件和载荷模拟方法
B面轴承载荷的模拟方式如图3 所示。法兰面与机匣通过均匀分布的螺栓连接，不妨采用全约束模拟法兰面约束。作用于轴承的载荷通过滚动体由1个套圈传到另一个套圈作用于鼠笼内圈B 面。基于Ansys Workbench 平台，轴承载荷施加主要有3 种方法，分别为remote force、bearing load 以及余弦载荷分布的压力，以下对3种施加方法进行说明。
（1）Remote force。通过remote force 施加轴承载荷，其相当于在轴承中心建立pilot节点与套圈表面的节点进行耦合。耦合方法可设置为rigid，deformable以及couple。
（2）Bearing load。bearing load 假设轴承径向间隙为零，即沿径向载荷作用线半圈滚动体受力，半圈滚动体不受力，通过在单元上施加面压力的方法施加轴承载荷，压力方向与径向载荷作用方向一致，与载荷作用线夹角（处的压力大小为
（3）bearing load。在施加压力时，根据单元坐标按式（7）进行插值，根据力平衡条件
采用积分形式表示，则径向载荷
将式（1）带入式（2）、（3），峰值压力载荷为
式中：R为套圈半径；
H为套圈宽度。
余弦载荷通过pressur 单元实现施加面压力等效轴承载荷，压力方向沿单元法向，压力分布可以通过函数控制。在工程应用时，一般假设压力按余弦分布，径向游隙为零，套圈有半圈受力，此时，方向载荷Pφ为
根据力平衡条件，径向载荷
因此，峰值压力载荷为
3.3 不同载荷边界条件对比
研究不同的约束以模拟轴承分布载荷对柔度计算值的影响。现考虑remote force（分rigid、deformationz 2 种耦合方式）、bearing load 及余弦载荷（分直接在鼠笼内表面加载、考虑轴承外环的线性接触和非线性接触3 种方式）不同的约束方式，以研究其对柔度计算值的影响。
有限元计算得到了在不同方式施加载荷时的鼠笼柔度值（见表3）。鼠笼式弹性支承实际传递力的路径是载荷通过轴承传递到鼠笼内表面，加载方式（f）较为合理地模拟了实际的力传递。由于轴承组件的支承刚度一般很大，并且滚棒轴承刚度要比滚珠轴承的刚度大，因此，对于具有弹性支承的支点大多可以忽略轴承刚度的影响[8，10]。
表3 轴承载荷施加方法对比
不同约束以模拟轴承分布载荷作用下鼠笼的变形量（表3）的提取方法为鼠笼内表面最大的变形量和平均变形量。根据计算结果，加载方式（a）中，加载面变形量与平均变形量（pilot节点变形）基本一致，其他加载方式下，加载面变形量与平均变形量都存在一定差值，是因为加载方式（a）采用了刚体耦合，即假定加载表面为刚性，不发生局部变形。在其他加载方式下，发生了加载面的局部变形。多数文献及资料表明[2，4]，轴承载荷的传递为余弦式分布，考虑到鼠笼式弹性支承与轴承的配合接触关系，所以加载方式（f）较为合理地模拟轴承载荷分布及力的传递关系，其考虑了轴承外环模型下的接触分析，涉及非线性问题。加载方式（e）在（f）的基础上，轴承外环与鼠笼采用线性接触，可在有效模拟力的传递的情况下，较快地计算出结果，工程计算时可以提高计算效率。当模型不考虑轴承外环时，所得到的柔度值略偏高于模型考虑轴承外环时的柔度值。具体相对误差见表3。
3.4 基于理论公式的有限元数值仿真方法验证
鼠笼式弹性支承的柔度和疲劳应力的理论计算公式基于非笼条部分刚化的悬臂梁理论推导得出。鼠笼非笼条部分刚化模型如图4 所示。从图4（a）中可见，公式推导基于假定非笼条部分两端绝对刚化。按照理论公式推导的假定，在有限元数值计算中，将非笼条两端部分弹性模量加大以模拟非笼条部分绝对刚化的假定，以验证有限元数值计算的结果。从图4（b）中可见，非笼条部分弹性模量加大。倒圆半径为0。
图4 鼠笼非笼条部分刚化模型
对比图4 非笼条两端加大弹性模量的有限元计算与理论公式结果，有限元结果与理论公式精确解吻合很好（见表4），说明表3 的计算结果可信。可用此方法验证有限元的计算结果。
表4 非笼条两端加大弹性模量的有限元计算与理论公式结果对比
4.1 鼓筒的影响分析
在第3.4 节模型的基础上，将非笼条两端的弹性模量修改为实际的弹性模量，即可研究理论公式未考虑的非笼条鼓筒部分的影响。鼓筒部分对柔度的影响对比见表5。
表5 鼓筒部分对柔度的影响对比
从表中可见，鼓筒部分刚化处理，鼠笼的柔度是47.178 nm/N，理论公式计算没有考虑笼条根部的倒圆且基于两端绝对刚化假设计算得到，其结果是47.62 nm/N。在有限元计算中，为了满足理论公式的假定及非笼条部分刚化且不考虑倒圆，将模型去除倒圆且将两端做刚性化处理，即将非笼条两端的弹性模量增大。有限元计算得到鼠笼的柔度为47.178 nm/N，此结果非常接近理论计算值。如果只做倒圆满足理论模型，即不考虑非笼条两端的绝对刚性，有限元数值计算得到柔度为62.049 nm/N，此结果与理论公式计算结果对比，误差在31.25%，即仅考虑非笼条鼓筒部分的影响时，理论公式得到的柔度偏小。其原因是，实际情况下，笼条发生弯曲变形时，笼条根部发生了一定的挠度角。由于公式推导中认为支承两端为绝对刚性，因此，理论公式在计算低刚性即大柔度的弹性支承时较准确，对于笼条数很多的高刚性的鼠笼支承，应采用有限元方法计算支承刚度。
4.2 倒圆的影响分析
在第3.4、4.1 节模型中，其倒圆为0，即满足理论公式的假设。为了研究理论公式未考虑的倒圆影响，现在模型中加入半径分别为R=1、2、3 mm 的笼条根部倒圆展开研究。笼条根部有无倒圆模型如图5 所示。这里考虑非笼条部分的作用即非笼条部分为可变性。
图5 笼条根部有无倒圆模型
不同笼条根部倒圆半径（R=0、1、2、3 mm）对鼠笼弹性支承柔度的影响见表6，模型考虑了非笼条鼓筒的影响。当倒圆为0 时，即为笼条的有效长度。不妨按照鼠笼弹支柔度计算的理论公式，定义有效长度缩减率K=其中，δRi表示带笼条根部倒圆对应的柔 度 值，R=i（i=1、2、3 mm），δR0表示笼条根部无倒圆对应的柔度值。由定义的有效长度缩减率K，就可以研究不同笼条根部倒圆对鼠笼弹支柔度的影响（表6）。增大笼条根部倒圆，可降低鼠笼弹支的柔度，其柔度减小的原因在于倒圆缩减了笼条的有效长度。如采用3 mm 的倒圆时，假定笼条设计的长度L=50 mm，按照3 mm的有效长度缩减率为0.961，最终笼条的有效长度为48.05 mm。在工程设计时，前期考虑倒圆缩减率的影响，可提高设计的精度，以便达到设计要求。
表6 不同笼条根部倒圆对鼠笼弹支柔度的影响
4.3 笼条截面为扇形与矩形的差异分析
鼠笼弹性支承的笼条是金属套筒上铣削加工而成，通常铣削去除部分的截面形状为扇形即剩余笼条部分截面形状为矩形。现考虑由于简化工艺，使得铣削去除部分为矩形，其中矩形的宽度分别为原本扇形截面内表面、中间、外表面宽度尺寸3 种情况，即剩余笼条部分为扇形。不同形状的笼条截面如图6 所示，分为矩形笼条截面和扇形笼条截面。
图6 不同形状的笼条截面
不同截面形状的笼条对弹支柔度的影响见表7。其中矩形为设计截面，即铣削去除部分为扇形。扇形1 至扇形3 为考虑由于简化工艺所致的截面形状，考虑加工时，原本计划铣削去除的扇形铣削为矩形，矩形宽度的尺寸分别为计划铣削扇形内、中间、外表面的宽度。
表7 不同截面形状的笼条对弹支柔度的影响
当铣削矩形的尺寸按照计划铣削扇形的内表面宽度考虑时，即笼条截面为扇形1 时，柔度降为50.42 nm/N，与设计截面相比，柔度降低了8.47%，降低的原因在于笼条截面了惯性矩增大，从而刚度增大；
当铣削矩形宽度按照设计铣削扇形中间宽度考虑时，即笼条保留截面为扇形2 时，柔度为54.79 nm/N，与设计截面基本相同，可以按照设计铣削扇形的中间截面尺寸简化工艺铣削去除为矩形截面，保留笼条截面为扇形截面；
当铣削矩形宽度按照设计铣削扇形外表面宽度考虑时，即笼条保留截面为扇形3 时，柔度为59.30 nm/N，与设计截面相比，柔度增大了7.64%，原因在于按照设计扇形外表面宽度的尺寸为矩形宽度切削时，实际切削部分比设计切削部分的横截面积大，故笼条的实际横截面惯性矩减小。
（1）探讨了鼠笼弹支数值计算的边界条件。结果显示，考虑轴承外环线性接触式的轴承力加载方式，即可在一定精确范围内满足加载边界条件，其精度与考虑非线性接触的精度基本一致，由于不涉及非线性计算从而有效地提升了计算效率，适合工程计算。
（2）研究了鼠笼式弹支柔度的影响因素。结果显示，理论公式未考虑的鼓筒部分对柔度存在一定的影响。对于笼条数较多，高刚度的鼠笼弹支结构，应采用有限元数值计算其柔度。
（3）探讨了笼条根部倒圆的影响，提出了有效长度缩减率K；
研究了简化加工工艺，对扇形与矩形截面的差异分析可知，在保持横截面惯性矩不变的情况下，可以简化加工工艺，矩形截面可以加工为扇形截面。
（4）采用有限元数值仿真方法进行弹支结构的柔度设计，可以克服理论解析方法无法考虑倒角等结构细节特征影响的局限性，从而获得更逼近真实条件的鼠笼式弹性支撑结构设计方案。
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