王南翔 戴浩波
【摘 要】 设正整数[n]的素数分解为[n=pa11pa22...pakk]，[ai>0]。若所有的[ai]均不相同，那么称[n]为特殊数。特殊数是近几年提出的新概念，Aktas Kevser 和 Murty Ram计算了特殊数个数的渐进公式。利用Siegel-Walfisz定理、Abel求和等一系列工具可以解决特殊数在算数级数上的分布，并且在广义黎曼假设的基础上，可以缩小对模[q]的限制。在此基础上，未来可解决特殊数的Titchmarsh除数函数问题。
【关键词】 特殊数；
Siegel-Walfisz定理；
Brun-Titchmarsh不等式；
广义黎曼假设
The Distribution of Special Numbers in Arithmetic Progressions
Wang Nanxiang， Dai Haobo*
（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China）
【Abstract】 Let [n=pa11pa22...pakk] be the canonical prime factorization of [n]，[ai>0]. Then [n] is a special number if all the [ai] are distinct. The concept of the special number is newly put forward in these years. Aktas Kevser and Murty Ram compute the number of special numbers. By using a series of tools such as the Siegel-Walfisz Theorem and Abel summation， one can solve the distribution of the special numbers in arithmetic progressions， and by using GRH， one can reduce restrictions of [modq]， and， based on the above， one can solve the Titchmarsh divisor problem for the special numbers in the future.
【Key words】 special number; Siegel-Walfisz Theorem; Brun-Titchmarsh Inequality; Generalized Riemann Hypothesis
〔中图分类号〕 O156.4 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）02- 0020 - 04
[收稿日期] 2023-11-25
[基金项目] 国家自然科学基金项目（11501007）
[作者简介] 王南翔（1998- ），男，安徽理工大学数学与大数据学院硕士研究生，研究方向：数论及其应用。
[通讯作者] 戴浩波（1981- ），男，博士，安徽理工大学数学与大数据学院副教授，研究方向：数论及其应用。
0 引言
素数是数论中的热门领域，它在图论、组合数学中也有应用。本文研究和素数类似的一类数——特殊数。
设正整数[n]的素数分解为[n=pa11pa22...pakk]，[ai>0]。若所有的[ai] 均不相同，那么称[n]为特殊数。是否有23个连续的特殊数这个看似简单的问题仍未解决，但是Aktas Kevser 和 Murty Ram ［1］证明了没有24个连续的特殊数。如果假设abc猜想成立，Aktas Kevser 和 Murty Ram ［1］证明23个连续的数都是特殊数的情形只有有限种。
abc猜想 固定[ε>0]，如果[a+b=c]，那么存在一个与[ε]有关的常数[k（ε）]使得
[c≤k（ε）p|abcp1+ε]，
其中[p]是素数。
记[π（x）]是小于等于[x]的素数的个数。素数定理是说当[x→+∞]时，[π（x）?xlnx]。记[S（x）]是小于等于[x]的特殊数的个数，Aktas Kevser 和Murty Ram ［1］证明了[S（x）=cxlnx+Oxln2x]。考虑更一般的情况，即在算术级数上某一类数的分布，素数在算术级数上的分布是一个很著名的结果：设[π（x;q，a）=#{p≤x：p≡]
[a（modq）}]，那么[π（x;q，a）=li（x）φ（q）+OAxe-clnx]。
其中[1≤q≤lnAx，A>0]，[c=c（A）]是正常数。
针对这一类问题，本文在前人的基础上，对特殊数进行了相关的研究。
1 预备知识
定义1 若[a=bc]，[a]，[b]，[c] 是整数，那么称[b]整除[a]，记作[b|a]。
定义2 [a]模[k]余[b]是指[k|（b-a）]，记作[a≡b（modk）]。这意味着若 [a≡b（modk）]那么[b≡a（modk）]。
有了定义2，就可以定义同余方程。
定义3 形如[ax≡b（modk）]的方程是同余方程。
定义4 若一个自然数可以写成某个整数的平方，那么称其为平方数。
定义5 设正整数[n]的素数分解为[n=1≤i≤kpaii]，[ai≥2]，那么称[n]为幂数。
Dirichlet双曲方法：由[τ（d）]的定义知：[n≤xτ（n）=n≤xd|n1]。于是
[n≤xτ（n）=n≤xd|n1=2n≤x d|nd≤n1-n≤xQ（n）=2d≤x n≤xn≡0（modd）1][+Ox。]
其中当[n]是平方数时 [Q（n）=1]，否则[Q（n）=0]。
Abel求和：
[y Mertens 估计：[p≤xlnpp=lnx+O（1）]。这个等式可由Abel求和得到。有关更多数论方面的研究，请参考文献［2-3］。 在接下来的讨论中，记号[f?g]表示存在某个正常数[c]，使得[|f|≤cg]，其中[g>0]，[?]表示绝对值。如果[c]和某个量[A]有关，即[c=c（A）]，那么上述记号可写为[f?Ag]。[f=O（g）]表示[f?g]，[f=OA（g）]表示[f?Ag]。记号[#S]表示集合[S]的元素的个数。字母[s]表示特殊数，[w]表示幂数，[p]表示素数，[m]是幂数以及特殊数。 2 基本引理 引理1 设[G（x;q，a）=#{w≤x：w≡a（modq）}]，[（a，q）] [=1]，[q?x16]。那么[G（x;q，a）?xq]。 证明 见文献［4］定理2。该定理的证明主要利用了Dirichlet双曲方法以及Abel求和。 引理2 （Siegel-Walfisz定理） 设[π（x;q，a）=#{p≤] [x：p≡a（modq）}]，那么 [π（x;q，a）=li（x）φ（q）+OAxe-clnx]。 其中[1≤q≤lnAx，A>0]，[c=c（A）]是正常数。 证明 见文献［5］定理12.1。该证明主要依赖于对[L]函数的估计。 引理3 （Brun-Titchmarsh不等式） 对于任意的正整数[q [π（x;q，a）-π（x-y;q，a）?yφ（q）ln（2y/q）]。 于是 [π（x;q，a）?xφ（q）ln（2x/q）]。 证明 见文献［5］定理20.1。该证明主要利用了筛法以及Mertens估计。令[y=x]就得到了第二个结论。 3 主要定理及其证明 3.1 主要定理 定理1 设[S （x;q， a）=# {s≤ x：s是 特 殊 数， s≡] [a（modq）}]。那么对于[1≤q≤lnAx]，[（a，q）=1]，[a（modq）]，[A]是正常数，有：[S（x;q，a）=Bxφ（q）lnx+OAxφ（q）ln2x]。 其中[B=1+11m]是收敛的，求和符号[1]表示对[m>1]，[m]是幂数以及特殊数，[（m，q）=1]求和，记号[（a，b）]表示[a]和[b]的最大公因子。 定理2 在广义黎曼猜想之下有： [S（x;q，a）=Bxφ（q）lnx+Oxφ（q）ln2x。] 其中[（a，q）=1]，[1≤q≤xlnAx]。 3.2 定理1的证明 对[s]做素数分解，得[s=pa11pa22...pakk]。由引理1，得： [#{m：m≤x，m≡a（modq）}≤#{w≤x，w≡a（modq）}?xq，] 这里[1≤q≤lnAx]。如果存在某个[ai=1]，那么[s=p]或者[s=mp]，[（m，p）=1]。接下来分类讨论，记[y=x0.1]。 若[s=mp]，那么有如下三种情形： （1）[m>y]； 记[L（y，x）={m：y [21≤m∈L（y，x）xφ（q）m?xφ（q）y+∞1tdm≤t1][?xφ（q）y+∞1tdt=] [xφ（q）y]。 （2）[m≤y]，[p≤y]； 记[H（q，y）={m：1 [ln（2y/q）=][lny+ln2-lnq>lny2]，所以 [ 31≤m≤y p≤ymp≡a（modq）1?][y2φ（q）ln（2y/q）][≤2y2φ（q）lny]。 （3）[1 因为[（a，q）=1]，记[m′]为[m]在模[q]中的逆，即[mm′≡] [1（modq）]。当[（m，q）=1]时，同余方程[mp≡a（modq）] 恰有一个解。当[（m，q）>1]时，该同余方程无解。令求和符号[4]表示对[s]求和，其中[s=mp≤x]，[p≥y]，[s≡a（modq）]，[m∈H（q，y）]。那么由引理3得： [41=m∈H（q，y）li（x/m）φ（q）+OAxme-clnx]，其中[c=c（A）]是正常数。 [li（x）=2xdtlnt=xlnx-2ln2+2xdtln2t]，由洛必达法则知，当 [x→ + ∞]时，[2xdtln2t? xln2x]，所以 [li（x）=xlnx+] [Oxln2x]。注意到 [1ln（x/m）=1lnx[1-（lnm）/（lnx）]=] [1lnx1+Olnmlnx] 以及[1ln2（x/m）=1ln2x1+Olnmlnx]。 由引理3得： [m∈H（q，y）li（x/m）φ（q）+OAxme-clnx=xφ（q）lnxm∈H（q，y）1m+][Oxφ（q）ln2xm∈H（q，y）lnmm+OAxe-clnxm∈H（q，y）1m。] 记[B1=m∈H（q，y）1m]。接下来估计[B1]和奇异级数[m∈H（q，y）lnmm]。由Abel求和以及引理2可知 [m∈H（q，y）lnmm=-1ylntdt-1/2=-lnyy+1y1t32dt] [=2-2y-lnyy，] 所以奇异级数[m∈H（q，y）lnmm]收敛。由于 [m∈H（q，y）1m≤][32+3≤m≤y（m，q）=11m≤32+3≤m≤y（m，q）=1lnmm]， 所以奇异级数[m∈H（q，y）1m]收敛。 若[s=p]，由引理3得， [p≤xp≡a（modq）1=π（x;q，a）=li（x）φ（q）+OAxe-clnx] [=xφ（q）lnx+Oxφ（q）ln2x]。 综上所述， [S（x; q， a）= #{s ≤x： [= B2xφ（q）lnx +OAxφ（q）ln2x]。 其中[B2=B1+1]。由于[B1]收敛，且有 [m>y（m，q）=11m=On>y1n=Oy+∞1tdt=O1y] ， 那么[11m=m>y（m，q）=11m+m≤y（m，q）=11m=m>y（m，q）=11m+B1+1]是收敛的。令[B=1+m∈H（q，+∞）1m]，那么[B=B2+O1y]。 由于[1y]的阶比[1lnx]的任意正次幂都要小，所以 [S（x;q，][a）=Bxφ（q）lnx+OAxφ（q）ln2x]。定理1得证。 3.3 定理2的证明 设[L（s， χ）=n=1∞χ（n）ns] ，其中[s=σ+it]，[χ]是[modq]的Dirichlet特征，满足： 1.存在正整数[q]使得[χ（n+q）=χ（n）]。 2.若[（n， q）>1]，那么[χ（n）=0]。 3.对于任意的正整数[a]， [b]，有：[χ（a）χ（b）=χ（ab）]。 如果对于所有满足[（n， q）=1]的[n]都有[χ（n）=1]，那么称其为平凡特征。 广义黎曼假设：当[0<σ<1]时，[L（σ+it， χ）=0]意味着[σ=12]。 在广义黎曼假设之下，定理1中的[q] 的限制会小很多。如果广义黎曼假设是正确的，那么 [π（x;q，a）=li（x）φ（q）+Oxlnx。] 其中[（a，q）=1]，[1≤q≤xlnAx]。首先修改3.2节中的（3），即[1 [41=m∈H（q，y）xφ（q）mlnx+Oxmφ（q）ln2x+Oxlnxm]。 接下来估计奇异级数[m∈H（q，y）1m]的阶。由Abel求和以及引理2，得 [m∈H（q，y）1m≤m [?1+1y1tdt?lny]。 所以余项是[Oxlnxlny] 。而主项的阶是[xφ（q）lnx≥xqlnx]，所以只需[1≤q≤xlnAx]，[A>5]即可。但是此时[q]可能大于[y]，所以Brun-Titchmarsh不等式可能会失效。但是若采用平凡估计，即[31≤m≤yp≤y1] [?y2=x0.2]，而主项的阶最小是[xlnA-1x]，所以这并不会对结论产生影响。因此在广义黎曼假设之下，有： [S（x;q，a）=Bxφ（q）lnx+Oxφ（q）ln2x。] 其中[（a，q）=1]，[1≤q≤xlnAx]。定理2得证。 4 总结与展望 本文在前人的基础上对特殊数进行了进一步的研究，并解决了特殊数在算术级数上的分布问题。但是特殊数在算术级数上的分布仍有一些限制：定理1中的[q]不能太大，在更大的范围要依赖广义黎曼假设。虽然特殊数和素数的关系很密切，但是未来也许可以不依赖广义黎曼假设解决特殊数在算数级数上的分布。Titchmarsh［6］得到了[p≤xτ（p-1）]的渐进公式，其中[p]是素数，[ζ（s）]是Riemann-[ζ]函数： [p≤xτ（p-1）=ζ（2）ζ（3）ζ（6）x+Oxlnlnxlnx]。 未来有望解决特殊数的Titchmarsh除数函数问题，即得到[s≤xτ（s-1）]的表达式，其中[s]是特殊数。 ［参考文献］ ［1］ K Aktas，R Murty. On the number of special numbers［J］. Proceedings of the Indian Academy of Sciences，2017，127（3）： ［2］ 华罗庚. 华罗庚文集（数论卷II）［M］. 北京： ［3］ 柯召. 数论讲义（上册）［M］. 北京： ［4］ T H Chan，K M Tsang. Squarefull numbers in arithmetic progressions［J］. International Journal of Number Theory，2013，9（4）： ［5］ D Koukoulopoulos. The Distribution of Prime Numbers［M］. Province，Rhode Island： ［6］ E C Titchmarsh. A divisor problem［J］. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo，1930，54（1）：414-429.
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