许琼
在“三新”背景下,数列模块作为“主力”知识,是创新意识与创新应用的一个重要载体,能够更加合理有效地考查考生数列知识的“三基”和数学关键能力,充分体现高考的选拔性与区分度.本文中结合2024届最新的模拟题,就数列模块中的创新综合应用,通过几类典型的特色问题加以合理剖析,抛砖引玉.
1 创新变换
创新变换对数列推递关系式的变形与转化起到至关重要的作用,特别是涉及数列不等式、数列通项与数列求和等相关问题中的变换与应用等.
例1 (2024届合肥市高三第二次质检数学试卷·8)已知数列{an}的前n项和为Sn,且1an=4+4an-1+n2an-1(n≥2且n∈N*),若a1=1,则( ).
A.S2 024∈1,32
B.S2 024∈32,2
C.S2 024∈2,52
D.S2 024∈52,3
解析:依题可得1an=4+4an-1+n2an-1≥4+4an-1+1an-1=1an-1+22>0,故1an≥1an-1+2,
则有1an-1≥1an-2+2,1an-2≥1an-3+2,……,1a2≥1a1+2,
将以上(n-1)个不等式同向相加,整理可得1an≥1a1+2(n-1)=2n-1.
所以an≤1(2n-1)2,n∈N*.
又an≤1(2n-1)2<14n2-4n=141n-1-1n,
所以S2 024<1+141-12+1412-13+……+141n-1-1n=1+141-1n<1+14<32.
又an>0,所以S2 024>a1=1,则有S2 024∈1,32,故选:A.
2 创新分析
创新分析对于含参的数列不等式、数列递推关系式等问题的解决有奇效,合理借助参数值的取值情况,联系数列自身的特色加以分析与处理.
例2 (2024届江苏省百校联考高三第二次考试数学试卷·8)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=1,记bm为数列{an}中能使an≥12m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{bm}的前2 023项和为( ).
A.2 023×2 024
B.22 024-1
C.6-327
D.112-328
解析:当n=1时,由题意可得a1=12.
又由Sn+an=1,可得Sn+1+an+1=1,两式相减可得2an+1-an=0,即an+1=12an,则{an}是以首项a1=12,公比为q=12的等比数列,故an=12n.
令an=12n≥12m+1,可得2n≤2m+1.
若m=1,则n≤1,此时b1=a1=12;
若2≤m≤3,则n≤2,此时bm=a2=14;
若4≤m≤7,则n≤3,此时bm=a3=18;
若8≤m≤15,则n≤4,此时bm=a4=116;
……;
若1 024≤m≤2 047,则n≤11,此时bm=a11=1211.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=32,……,T2 047=b1+(b2+b3)+……+(b1 024+b1 025+……+b2 047)=11×12=112.所以T2 023=112-24211=112-328,故选择:D.
3 创新场景
创新场景往往是依托一些现实生活中的应用场景,结合一些典型的数列模型加以设置,进而从应用场景中归纳并总结相应的数列递推关系式,为问题的进一步分析与求解提供条件.
例3 〔2024届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题·8〕一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图1),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂……以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a2 022a2 024-a22 023=( ).
A.1
B.-1
C.2 D.-2
解析:由题意可得a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,归纳可知,an+1=an+an-1(n∈N*,n≥2),
所以当n≥2时,anan+2-a2n+1=an(an+1+an)-a2n+1=anan+1+a2n-a2n+1=a2n+an+1(an-an+1)=a2n-an+1an-1=-(an-1an+1-a2n),
而a1a3-a22=-1,所以数列{anan+2-a2n+1}是以a1a3-a22=-1为首项,公比为-1的等比数列.
所以a2 022a2 024-a22 023=-1×(-1)2 021=1.故选:A.
4 创新定义
创新定义成为数列中最为常见的一类创新应用问题,或创新定义数列模型,或创新定义与数列的通项、求和等公式有关的问题等,依托创新定义加以综合,结合数列的基础知识进行分析与求解.
例4 〔2024届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题·21〕已知数列{an}为等差数列,公差d>0,等比数列{bn}满足:b1=2a1=2,b2=a1+a3,b1b3=5a3+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若将数列{an}中的所有项按原顺序依次插入数列{bn}中,组成一个新数列:b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,a7,b4,……,在bk与bk+1之间插入2k-1项{an}中的项,新数列中bn+1之前(不包括bn+1)所有项的和记为Tn,若dn=a2nan+12n-1Tn+2+2,求使得[d1]+[d2]+[d3]+……+[dn]≤2 023成立的最大正整数n的值.(其中符号[x]表示不超过x的最大整数.)
解析:(1)设等比数列{bn}的公比为q(q≠0),依题意可以得到a1=1,b1=2,
则有2q=1+1+2d,2×2q2=5(1+2d)+1,解得d=1,q=2,或d=-12,q=12(舍去),
所以an=n,bn=2n.
(2)新数列中bn+1之前的所有项中,含有{an}中的项共有20+21+22+……+2n-1=2n-1项,
所以Tn=(1+2n-1)(2n-1)2+2(1-2n)1-2=22n-1+3·2n-1-2,
所以dn=a2nan+12n-1Tn+2+2=n2(n+1)(2n+3)+2n2n+1=n2(n+1)(2n+3)+2n+1+2(n-1)=n2+2(2n+3)(n+1)(2n+3)+2(n-1).
下证当n≥2时,0 由于(n+1)(2n+3)-n2-2(2n+3)=(n-1)2n-n2+3n-3, 而结合二项式定理有2n=C0n+C1n+C2n+……+Cnn,则当n≥2时,2n≥n+2, 所以(n-1)2n-n2+3n-3≥(n-1)(n+2)-n2+3n-3=4n-5>0, 所以当n≥2时,0 所以[d1]+[d2]+[d3]+……+[dn]=1+2[1+2+……+(n-1)]=n2-n+1≤2 023,即n2-n=n(n-1)≤2 022,则满足不等式的最大正整数n=45. 涉及数列模块知识中的创新综合问题,往往依托数列的基本概念、基本类型、基本公式以及基本性质等,融入相应的创新元素与创新场景,成为每年高考中考查学生的创新意识与创新应用的一个重要载体.此类创新综合问题,以数列基础知识为问题背景,融入各种相应的创新元素与创新意识,使得数学应用、综合应用、创新应用在数学基础、数学思维、技巧方法等层面得以真正发酵、发生、反映等,引导学生合理关注现实生活中无处不在的数学与应用.