赵国喜，方颖颖,，熊作鑫
（1.新乡学院 数学与统计学院，河南 新乡 453003；
2.河南科技学院 数学科学学院，河南 新乡 453003）
随着我国经济的发展，碳排放量迅速增加，2020年，我国的碳排放量已达102.51 亿吨。为了保护地球环境，我国率先提出了“双碳目标”。因此，研究碳排放量对于我国的“环境—能源—经济”具有重要意义［1-3］。
目前，关于碳排放量的预测，已引起了国内外学者的广泛关注。WANG H.P.等［4］利用具有时间幂项的分数阶灰色伯努利模型估计了碳排放量。王永哲等［5］利用灰色关联分析方法研究了影响碳排放量的相关影响因素以及它们的关联度，并利用GM(1,1)模型预测了吉林省2016—2018 年的人均碳排放量。黄飞［6］将动态自适应粒子群算法与GM(1,1)模型结合，建立了动态自适应离子群优化灰色模型（DAPSOGM），并利用该模型预测了碳排放量。梁一鸣等［7］利用STIRPAT 模型和GM(1,1)模型对我国中部六省进行了碳排放因素分析，预测了碳排放量。徐志存［8］建立了非等间距新型累加灰色GM(1,1)模型，预测了我国的碳排放量。江思雨等［9］将灰色系统理论与马尔可夫原理结合，建立基于灰色马尔可夫理论的建筑业碳排放量预测模型，预测了建筑业的碳排放量，将预测精度提高到95%以上，为研究建筑业的碳排放奠定了理论基础。另外，基于非齐次指数离散函数的灰色NGM(1,1,k)模型也受到了学者的关注，童明余等［10］提出了新的灰色NGM(1,1,k)模型背景值的优化方法，通过积分变换得到了与灰色NGM(1,1,k)模型的白化方程相匹配的灰色微分方程，克服了传统灰色NGM(1,1,k)模型的缺点，减少了基本误差。在此基础上，我们首先以2010—2019 年中国碳核算数据库（CEADs）中东部部分地区的碳排放量为基础，建立了GM(1,1)模型、DGM(1,1)模型、FGM(1,1)模型和优化的灰色FQNGM(1,1,k)模型，其次利用这些模型对上海市、江苏省、浙江省和福建省的碳排放量进行了模拟和预测，发现FQNGM(1,1,k)模型的模拟与预测精度最高，最后利用FQNGM(1,1,k)模型预测了上海市、江苏省、浙江省和福建省的碳排放量。
1.1 GM（1,1）模型
定义1：设原始非负序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),定义X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))为X(0)的1−AGO序列，其中，
称x(0)(k)+ax(1)(k)=b为GM(1,1)模型，而且，k=1,2,…,n。
定理1［11］：参数向量=[a,b]T=[BTB]−1BTY,其中Y和B分别为
定理2［11］：在初始条件x(1)(1)=x(0)(1)下，GM(1,1)模型的时间响应式为
还原式为
其中，k=1,2,…,n。
1.2 DGM(1,1)模型
定义3：称
为DGM(1,1)模型。
定理3［11］：参数向量
其中，Y和B分别为
定理4［11］：在初始条件x(1)(1)=x(0)(1)下，DGM(1,1)模型的时间响应式为
还原式为
其中，k=1,2,…,n。
1.3 FGM(1,1)模型
定义4：设原始非负序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),定义为X(0)的r−AGO序列，其中
背景值Z(r)=(z(r)(2),z(r)(3),…,z(r)(n)),而
其中，k=1,2,…,n。
定理5［11］：参数向量=(a,b)T=(BTB)−1BTY,其中，Y和B分别为
定理6［11］：在初始条件x(1)(1)=x(0)(1)下，FGM(1,1)模型的时间响应式为
还原式为
其中，k=1,2,…,n。
1.4 FQNGM(1,1,k)模型
定义6：设原始非负序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),定义为X(0)的序列，其中，
背景值Z(r)=(z(r)(2),z(r)(3),…,z(r)(n)),而z(r)(k)=wx(r)(k)+(1−w)x(r)(k−1),其中0 证明：与文献［11］中的方法类似，证明从略。 定理8：在初始条件 下，FQNGM(1,1,k)模型的时间响应式为 还原式为 其中，k=2,3,…,n。 证明：与文献［11］中的方法类似，证明从略。 为了评估各模型的预测效果，引入绝对百分比误差(APE)和平均绝对百分比误差(MAPE)，其计算公式分别为 其中，x(0)(k)代表原始值，代表预测值。 采用量子粒子群算法进行全局搜索及寻找最优解的主要步骤表示如下： 在中国碳核算数据库（CEADs）中，我们选取了2010—2019 年东部部分地区（上海、江苏、浙江和福建）的碳排放量的原始数据（表1），把上海市2010—2015 年的碳排放量作为模拟数据，2016—2019 年的碳排放量作为预测数据，来进行误差检验，以确定最优模型。 表1 东部部分地区的碳排放量 首先，利用Matlab 软件和量子粒子群算法进行全局搜索，寻找最优解，计算GM(1,1)模型、DGM(1,1)模型、FGM(1,1)模型和FQNGM(1,1,k)模型的阶数r和动态背景值w，结果见表2。 表2 各模型中的参数取值 其次，利用灰色系统建模软件建立 GM(1,1)模型与DGM(1,1)模型，利用Matlab 软件建立FGM(1,1)模型和优化灰色FQNGM(1,1,k)模型，并利用这些模型对2016—2019 年上海市的碳排放量进行模拟与预测，结果如表3 和表4 所示。 表3 2010—2015 年上海市的碳排放量模拟结果 表4 东部部分地区2020—2024 年预测结果 表4 2016—2019 年上海市的碳排放量预测结果 以模拟与预测2010—2019 年上海市的碳排放量为例，给出优化灰色FQNGM(1,1,k)模型的求解步骤。 步骤1：选取上海市2010—2015 年的碳排放量作为原始数据，得到序列X(0)=(161.42,170.60,168.52,181.78,156.55,161.65)。 步骤2：利用量子粒子群优化算法进行全局搜索，寻找最优解，可得w=0.339 6,r=0.993 7,由此可得一阶累加序列X(0.9937)=(161.42,169.58,166.94,179.85,154.27,159.28)。 步骤3：利用最小二乘法可求得a=0.143 4,b=20.980 7,c=172.864 3,将这些参数代入时间响应函数，可得 步骤5：利用优化灰色FQNGM(1,1,k)模型预测2016—2019 年上海市的碳排放量，可得(160.06,158.68,157.49,156.46)。 最后，分别计算GM（1,1）模型、DGM（1,1）模型、FGM（1,1）模型和FQNGM(1,1,k)模型的绝对百分比误差和平均绝对百分比误差，结果见表3 和表4。从表3 可以看出，FQNGM（1,1,k）模型的模拟误差最小，为2.767 0%。通过绘制上海市的碳排放量的实际数据和模拟数据折线图（图1）发现，FQNGM(1,1,k)模型在模拟与预测方面都更加接近真实值。 图1 上海市碳排放量模拟与预测折线图 依照以上方法，可利用江苏、浙江与福建省的碳排放量数据建立GM（1,1）模型、DGM（1,1）模型、FGM（1,1）模型和FQNGM(1,1,k)模型，模拟与预测这些省份的碳排放量。江苏省的模拟与预测结果显示，FQNGM(1,1,k)模型的模拟与预测效果最好，其中模拟误差与预测误差分别为0.966 6%和1.0512%。通过绘制江苏省的碳排放量的实际数据和模拟数据折线图（图2）发现，FQNGM(1,1,k)模型在模拟与预测方面都更加接近真实值。浙江省的模拟与预测结果显示，FQNGM（1,1,k）模型的误差在所有模型中最小，模拟与预测误差分别为0.6603%和3.8153%。通过绘制浙江省的碳排放量的实际数据和模拟数据的折线图（图3）发现，FQNGM(1,1,k)模型在模拟与预测方面都更加接近真实值。福建省的模拟与预测结果显示，FQNGM(1,1,k)模型的模拟与预测误差分别为3.6873%和8.7401%，虽然误差较大，但与其他模型相比，FQNGM(1,1,k)模型具有较高的精度。通过绘制福建省的碳排放量的实际数据和模拟数据折线图（图4）发现，FGM(1,1)模型与FQNGM(1,1,k)模型的预测效果要好一些，FGM(1,1)模型的拟合效果比FQNGM(1,1,k)模型要差一些。 图2 江苏省碳排放量模拟与预测折线图 图3 浙江省碳排放量模拟与预测折线图 图4 福建省碳排放量模拟与预测折线图 通过以上分析，我们认为 FQNGM(1,1,k)模型的预测效果是最好的。下面我们采用FQNGM(1,1,k)模型预测我国东部部分地区2020—2024 年的碳排放量。 利用FQNGM（1,1,k）模型预测我国东部部分地区2020—2024 年的碳排放量，可得如表4 所示的结果，真实值与预测值的折线图如图5、图6、图7 和图8 所示。 图5 上海市碳排放量的真实值与预测值折线图 图6 江苏省碳排放量的真实值与预测值折线图 图7 浙江省碳排放量的真实值与预测值折线图 从图5～图8 可以看出，我国东部部分地区碳排放量整体上呈上升趋势，但上升幅度不是很大，而作为我国贸易中心的上海市，碳排放量呈下降趋势。 在本文中，我们首先利用量子粒子群算法找出了最优参数，建立了GM(1,1)模型、DGM(1,1)模型、FGM(1,1)模型和FQNGM(1,1,k)模型，其次对我国东部部分地区2010—2019 年的碳排放量进行了模拟和预测，通过比较发现FQNGM(1,1,k)模型的预测精度最高，效果最好，最后利用优化的灰色FQNGM(1,1,k)模型对我国东部部分地区2020—2024 年的碳排放量进行了预测，发现我国东部部分地区碳排量总体呈现增长趋势，但上升的幅度在减小，这说明我国已对碳排放量进行了干预，正朝着“二氧化碳排放2023 年前达到峰值，2060 年前实现碳中和”的目标迈进。1.5 精度测量指标
3.1 各模型的模拟与预测结果之比较和分析
3.2 基于FQNGM（1,1,k）模型的碳排放量预测
