赵 岩, 张亚辉, 林家浩
(1.大连理工大学 力学与航空航天学院 工业装备结构分析优化与CAE软件全国重点实验室,大连 116023;2.大连理工大学宁波研究院,宁波 315016)
随机振动问题广泛存在于地震、风、波浪和空间不平顺等复杂环境载荷作用下结构和装备的设计和安全性评价中。自创建以来,虚拟激励法作为线性随机振动分析的高效精确方法,在桥梁抗震/抗风、车辆工程和航空航天工程等各个领域得到广泛的应用[1,2],成为分析随机振动问题的一种有力手段。虚拟激励法在创建和发展过程中,得到钟万勰院士的极大关怀和大力支持,特别是结合钟万勰院士提出的精细积分法和对偶辛体系,虚拟激励法对于非平稳问题和随机波传播问题等都给出了有效的解决途径[3-5]。基于以往随机振动虚拟激励法处理非平稳随机振动问题的分析思路,本文给出一种非平稳随机振动分析闭合解的求解方式。
在很多实际工程结构的抗震分析中,地震输入通常采用一致地面激励,即假定各支承点的地面运动是相同的。这种假定对于跨度不是很大的高层建筑或高耸结构来说,是比较合理的。但对于大跨度桥梁、水坝和管线等空间结构,由于地震发生时,结构的各支承点受地震传播的行波效应、局部场地效应和部分相关效应的影响,各支承处输入的地面运动显著不同,需要采用多点输入地震作用模型[6]。早期关于大跨度多点输入地震响应分析的研究,很多工作都建立在地面运动做为平稳随机过程假设的基础之上。实际地震观测发现,地震发生过程中振动强度通常经历上升、平稳和下降三个阶段,呈现出一种典型的非平稳特性。Priestley[7]建议采用演变激励模型描述地震的非平稳特性,由于具有比较明确的物理意义,该模型在地震工程得到广泛的应用。对于非一致非平稳地震载荷作用下的结构响应分析,Perotti[8]模拟地面运动为具有演变谱的非平稳随机过程,采用随机振动方法研究了多支座大跨度结构的地震响应行为。Alderucci等[9]针对地面运动空间变异性对于大跨度多支承结构非平稳振动问题推导出了结构响应演变功率谱密度函数的闭合解,研究了演变过程模型和西格玛振荡过程模型。文献[10]结合虚拟激励法与精细积分方法研究了大跨度结构非平稳(包括非均匀调制)随机地震响应的有效分析。
大跨度结构非平稳随机振动问题通常需要进行时频分析。在时频分析过程中,需要对每一频点执行一次时域逐步积分,如果分析的频域区间包含过多的频点,这种方法会消耗过多计算资源。本文基于虚拟激励法从频域建立了大跨度结构多点输入非平稳振动分析的有效方法,推导了考虑地震地面运动部分相干效应时结构响应演变功率谱的闭合解。由于实现了确定性调制过程与随机过程的分离,应用本文的方法只需要对确定性调制过程实施傅里叶分析计算,在具有较高精度的前提下,计算效率获得有效的提升。
对于一个有n1个地面支座和n2个自由度的离散线性大跨度结构,其多点地震激励运动方程可写成如下的分块矩阵形式[1]
(1)
式中xb(t)为支座的地面强迫位移,xs(t)为结构系统所有非支座节点位移,pb(t)为地面作用于支座的力,M,C和K分别为结构的质量阵、阻尼阵和刚度阵,下标s和b分别对应于结构的非支座自由度和支座自由度。对于集中质量离散化模型,质量矩阵中的交互项Msb和Mbs为零。
在求解运动方程(1)时,可将绝对位移xs(t)分解为拟静位移ys(t)和动态相对位移yr(t)两部分,即
(2)
式中 拟静位移ys(t)满足静力学平衡方程
(3)
由式(3)可得拟静位移ys(t)和地面支座节点位移xb(t)满足
(4)
(5)
(6)
(7)
的转换关系可表示为
(8)
式中E为一个m1×n1的转换矩阵。显然,当只考虑三个平动分量而不考虑转动分量时,m1=3n1。
由式(4,5,8)可分别改写为
ys(t)=-Pub(t)
(9)
(10)
式中 系数矩阵P为
(11)
3.1 结构非平稳随机输入及响应
(12)
式中h(τ)为系统的脉冲响应函数矩阵,其与系统的频率响应函数矩阵H(ω)存在傅里叶变换关系为
(13)
大跨度结构非平稳随机振动的位移响应xs(t)为
xs(t)=yr(t)+ys(t)=
(14)
3.2 结构非平稳随机振动的相关分析
进行大跨度结构非平稳随机响应的相关分析,由式(14)可知,结构位移响应xs(t)的自相关函数为
(15)
式(15)右端项具有四个部分,分别为动态相对位移yr(t)和拟静位移ys(t)的自相关函数,以及两者的互相关函数。为推导方便,首先考察式(15)右端第一项结构动态相对位移yr(t)的自相关分析,有
(16)
(17)
式中 推导过程利用了输入激励功率谱矩阵Süü的谱分解。将式(17)代入式(16),并交换积分运算符号有
(18)
(19)
(20)
由此,可得系统非平稳随机振动响应yr(t)的互相关矩阵为
(21)
对于式(15)右端的其余三部分的期望运算,其推导过程与上述结构动态相对位移yr(t)的自相关分析类似,为避免繁琐,本文直接给出最后的结果如下。
结构拟静位移响应ys(t)的自相关函数为
βj(t,ω)=PG(t)u～(t,ω)
(22)
结构动态相对位移响应yr(t)和结构拟静位移响应ys(t)的互相关函数为
(23)
结构拟静位移响应ys(t)和结构动态相对位移响应yr(t)的互相关函数为
(24)
利用式(20～23),并令tk=tl=t,由式(15)可以获得考虑部分相干效应大跨度结构非平稳随机振动位移响应xs(t)的方差函数
(25)
由维纳-辛欣关系可知,式(25)积函数正是结构位移响应xs(t)的演变功率谱密度矩阵,为
(αj(t,ω)+βj(t,ω))T
(26)
进一步可以按式(27)计算结构位移响应xs(t)的时变方差
(27)
3.3 演变功率谱分析的频域方法
考虑虚拟激励载荷向量式(20)关于时间t的傅里叶积分变换,此时ω为常值,有
(28)
(29)
为调制函数矩阵G(t)的傅里叶变换矩阵。
与式(28)相应的逆傅里叶变换为
(30)
利用式(19,28,30),由式(19)可进一步推导出计算虚拟响应αj(t,ω)的频域表达形式,即
(31)
式中
(32)
式(21)中令tk=tl=t,利用式(19,32)可得系统随机振动响应y(t)随时间演变的自相关矩阵为
(33)
式(33)的被积函数正是结构动态相对位移响应yr(t)的演变功率谱密度矩阵,为
(34)
与式(34)推导类似,可以得到结构动态相对位移响应ys(t)的演变功率谱密度矩阵
ηs(t)=-PG(t)
(35)
由式(34～36)可以得到大跨度结构非平稳随机振动位移响应演变功率谱密度矩阵表达式为
Sysys(t,ω)=β(t,ω)Süü(iω)βT(t,ω)
(36)
如图1某大跨度斜拉桥,全长为866 m,结构采用全漂浮双索面斜拉体系。桥梁有限元模型具有429个节点,其中包含6个地面节点,划分301个单元,1156个自由度。主甲板和桥塔采用三维梁单元模拟,斜拉索采用一维索单元模拟。在分析中,采用前200阶模态进行模态分解,模态振型阻尼比取为0.05。采用本文提出的频域方法与文献[3]的时频分析方法进行非平稳非一致地震作用下结构随机振动分析。有效频率区间取为ω∈[0.0,100] rad/s,频域步长为Δω=0.2 rad/s。
图1 斜拉桥有限元模型
4.1 方法验证
采用均匀调制演变非平稳随机过程模型描述地面运动,考虑如下三段调制函数,即
(37)
式中 各参数取值分别为I0=1,t1=1.5,t2=15,c0=0.2。
基于中国规范选取地面加速度反应谱,特性参数为7°区域设防,2类场地类别,1类地震分类。本文采用Kaul[11]提出的方法进行该场地反应谱与等效功率谱转换,并作为下述分析采用的地面加速度功率谱。
采用Loh-Yeh[12]建议的相干函数模型进行各地面支座节点相干关系模拟
(38)
式中kx为地震波传播的波数,根据SMART-1地震台网的第40次的加速度记录,取kx=0.125。
假定桥梁受沿着桥主轴方向传播的SV波作用,地震视波速vapp=700 m/s。计算分析中,时频分析方法采用时间步长为0.02 s;采用本文的频域分析方法时,采样频率为10 Hz。为方便进行两种方法的对比验证,选择斜拉桥主甲板的2个观测点A和点B(位置分别为x1=262.2 m,x2=412.2 m),分别采用时频方法和本文建立的频域方法计算两个观测点竖向剪力的随机振动响应。
为进行两种方法的对比验证,图2～图4给出了主甲板不同观测位置竖向剪力时变标准差计算结果。图2和图3为主甲板点A和点B的竖向剪力标准差。图4为地震作用时刻为t=30 s时,主甲板竖向剪力标准差。可以看出,两种方法计算非常一致,最大误差不超过0.2%。从图2和图3可以看出,对于时变方差响应,大致经过上升、平稳和下降3个阶段,表明了响应的非平稳随机振动特性。对于图4,剪力沿着主甲板的分布具有一定的对称性,这是由于悬索桥的结构大致对称,并承受对称载荷作用的结果。在上述计算中,时频分析方法计算时间为2347.98 s,本文建立的频域分析方法计算时间为1030.32 s。
图2 主甲板点A竖向剪力时变标准差
图3 主甲板点B竖向剪力时变标准差
图4 t=30 s时主甲板不同位置竖向剪力标准差
4.2 不同相干模型
对于考虑地震传播的时空结构,根据强震观测及统计分析已经发展了多种相干函数模型,除了本文采用的Loh模型,下面给出另外两种模型。
冯启民-胡聿贤相干函数模型[13]
(39)
Harichandran-Vanmarcke相干函数模型[14]
(40)
式中
θ(ω)=K[1+(ω/ω0)b]-1/2
(41)
根据SMART-1地震台网的加速度记录,模型的参数为A=0.736,α=0.147,K=5210,ω0=6.85 rad/s,b=2.78。
假定SV波作用,视波速vapp=750 m/s,分别考虑Loh,Harichandran和Haicheng相干模型,其余分析参数同4.1节。选择的主甲板的观测点B,计算的竖向剪力F和横向弯矩M时变方差分别如图5和图6所示。同样给出了地震作用时间为t=30 s时刻,主甲板剪力和弯矩图标准差的计算结果,如图7和图8所示。从上述结果可以看出,不同的相干模型对于内力响应具有显著的影响。对于本文讨论的参数情况,采用Haicheng相干模型时计算的内力响应最大,Loh相干模型获得的结果最小。从图7和图8可以看出,计算的结果仍然具有一定的对称性,三种相干模型计算内力响应沿着桥梁主轴方向的变换趋势大致相同,对于主甲板对称轴位置的内力响应存在一定差别,对于主甲板中间位置,Haicheng和Harichandran相干模型的计算结果存在一个波谷,但Loh相干模型的计算结果则存在一个波峰。
图5 不同相干模型竖向剪力标准差
图6 不同相干模型观横向弯矩标准差
图7 不同相干模型下主甲板剪力标准差
图8 不同相干模型下主甲板弯矩标准差
由于地震波传播过程中的行波效应、场地相干效应以及局部场地效应,对于大跨度结构的抗震分析需要考虑地面运动的非一致性。本文基于虚拟激励法建立了多点输入非平稳随机振动分析的闭合解,与传统的时频分析方法不同,建立的方法完全基于频域执行。该方法比较显著的特点是实现了结构非平稳响应确定性调制过程与非平稳过程的有效分离。在具体计算分析中仅需要考虑确定性调制部分的分析,由于输入调制函数具有慢变函数的特性,在应用离散傅里叶分析技术时不需要较高的采样频率,即可获得良好精度的计算结果。
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