祝 福
(商丘职业技术学院 基础部,河南 商丘 476100)
在高等数学教材中,变限积分函数是牛顿-莱布尼兹公式的理论基础,是求导和极限问题中的高频知识点,也是研究生入学考试中经常考查的函数之一.用变限积分定义函数是一种全新的表示函数的方法,变限积分函数是我们表示函数的一种新的重要工具[1].然而,大学教材在变限积分的应用方面论述很少或分散在教材中不同部分,使学生无法一窥全貌,从而无法深刻理解并最终消化掌握这一重要函数.本文通过举例把变限积分函数的求导问题进行总结和归纳以解决上述问题.
证明对于[a,b]上任一确定的点x,x+Δx∈[a,b]
再由x的任意性可知:Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数.
此定理联通了导数和定积分这两个从表面上看似不相干的概念之间的内在联系,同时也说明了连续函数必有原函数这一基本结论,并以积分的形式给出了f(x)的一个原函数.
该定理还可以做一些推广,具体结论如下:
学习高等数学课程以及后期学习概率论课程时,尤其在实际解题过程中,甚至考研考博时还会遇到这个情况,即变限积分函数的变形,如果仍单纯按照基本定理和推论去解题则会得出错误的结果.对变上限积分函数求导时,首先要弄清是对哪个变量求导,把变上限积分函数的自变量与积分变量区分开来.变上限函数的自变量是上限变量,因此对变上限函数的求导,就是对上限变量的求导,与积分变量无关,但有时被积表达式内含有上限变量的情况,应把上限变量从被积表达式内提到积分号外,然后再进行求导[1].常见的类型有以下3种,即积分号下含有x的3种求导处理方式:
变形1被积函数中含有x和积分变量t的函数的乘积的形式,因为积分变量为t,此中的x可视为常数,可以提到积分号外面,利用函数的乘法求导公式进行计算,变形公式如下:
变形2被积函数中含有关于x的函数和关于积分变量t的函数的和差,可以利用积分的性质,转化为两个积分的和或差的形式,再利用变形1式进行计算,变形公式如下:
变形3被积函数中x和t不能直接分离的,一般可以利用第二换元法,注意换元时上下限也要进行相应的变换,变形公式如下:
综上,不仅有了基本的定理和求导计算公式,而且对于应用更加广泛的3种变形的情况也清楚了其求导的原理,这对于我们在利用变形积分函数做求导运算时提供了更加便利的工具,也会使得计算更加简便、快捷.
分析：积分的上下限均是函数变量,满足推论3的条件.
解：由推论3可得:
解：由洛必达法则,分子分母分别求导可得:
分析：由所给的方程可知,左边是变上限积分函数,利用推论1可以求出其导函数.右边的变限积分函数里同时含有x,t,利用变形1可得其导函数.
又对方程化简变形可得,
方程两端分别对x求导,利用前述结论可得:
(1)
分析：由被积函数的形式可知其符合变形3的情形,可利用换元的方法,将其转换为变形2的情形,由此可以得出结果[5].
解：由条件可令u=2x-t,则可得t=2x-u,dt=-du,此时原式左边积分可变为:
整理可得:
所以,当x=1时,得:
分析：此为含有变限函数的极限问题,一般可以利用洛必达法则进行处理.通过观察,我们可以采用变形3先换元,再用洛必达法则进行计算.
通过对变限积分函数求导的几种题型的分析,不难发现,变现积分函数是一类及其重要的特殊函数,在应用上具有很强的综合性.该知识点把高等数学中的有关微积分的许多知识进行了有效链接,从而更好地帮助学生掌握有关极限的计算和导数定义、隐函数求导及积分的性质等知识点.这对学生学习后续的诸如概率统计及考研、考博等都有一定的帮助.在遇到此类问题时,可以从变限积分函数的角度去考虑,并通过引入变限积分函数这一重要工具,从而可以更好地帮助我们解决此类问题.
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