冯玉芳 张瑜瑜
摘 要 自旋与电荷一样，是电子的固有属性，电子的周期性轨道运动产生的磁场与电子的自旋磁矩相互作用，这种磁相互作用就是自旋轨道相互作用。在原子物理学中，这种自旋轨道作用会影响原子光谱的精细结构，然而教材中缺少自旋轨道耦合作用在二维半导体材料中的微观描述。本文将引入Rashba和Dresselhaus自旋轨道耦合作用的哈密顿量，研究单电子在无外场下二维平面内运动，讨论一种或者两种自旋轨道耦合的哈密顿量表示。通过自旋与等效磁场耦合的塞曼能量表示，本文计算了本征态下不同自旋轨道耦合作用下的等效磁场，从而有助于探索二维半导体材料中不同自旋轨道耦合作用下的物理特性。
关键词 自旋轨道耦合;等效磁场;塞曼能量
从施特恩盖拉赫实验以及乌伦贝克与古兹米特提出电子自旋的假设，我们知道了自旋是电子的固有属性，从而能够解释原子光谱的精细结构以及塞曼效应等物理现象。
在原子物理的学习中，我们了解到，在单电子原子的能谱中，原子中电子与原子核的静电相互作用是一项主要的相互作用，正是它决定了谱系的主要特征。同时，周期性运动的电子会产生磁场，由此产生的磁相互作用则决定了谱系的精细结构[1]。这种电子自旋与轨道运动产生的磁场相互作用，叫做自旋轨道相互作用。一般来说，我们比较熟悉电子和外磁场发生相互作用，即塞曼效应，而说到自旋轨道耦合我们却难以有简洁而清晰的认识。从经典的角度来看，作周期运动的电荷势必会产生一个磁场。在学习原子物理课程时，我们知道电子轨道运动产生的磁场B 与电子的轨道角动量有关（B∝l），且电子具有自旋磁矩μs（μs∝s），因此原子内磁场的塞曼能可以表示为
U =-μs·B （1）
可见能量正比于s·l，被称为“自旋轨道耦合”项[1]。它是电子轨道运动产生的磁场与自旋磁矩相互作用产生的附加能量，而正是这种磁相互作用引起了谱系的精细结构。
在原子物理学教学中，对自旋轨道耦合效应一般没有深入探讨，而自旋轨道耦合效应是诸多二维半导体材料结构中新奇物理现象产生的重要原因，也是自旋电子学研究的重要物理问题之一，非常值得我们探讨学习。
在自旋轨道耦合效应中，我们可以将自旋轨道相互作用看作是电子自旋与一个等效磁场之间的磁相互作用，此时自旋轨道耦合的作用就等同于给电子外加了一个等效磁场，进而我们可以用不同的等效磁场来表示不同的自旋轨道耦合作用，以便深化理解。
结合原子物理学中所描述的有关自旋轨道耦合效应的最简单原理，我们将进一步介绍半导体材料两种重要的Rashba和Dresselhaus自旋轨道耦合作用，这两种不同的作用有助于研究塞曼分裂，共振自旋霍尔效应，及自旋进动等有意义的前沿科学问题[2，3]。本文将分别给出Rashba 和Dresselhaus自旋轨道耦合作用的不同等效磁场，理解自旋轨道耦合及其等效磁场之间的联系。
1 自旋轨道耦合介绍
自旋轨道耦合（spin-orbit coupling， SOC）本質的特点是，即使在没有外部磁场的情况下，电子在电场中运动也会受到一个与动量相关的类似磁场的作用，这个等效磁场与电子自旋磁矩发生相互作用。因此，自旋轨道耦合的哈密顿量一般形式表示为
Hsoc ～μBσ·Beff （2）
其中，μB 表示玻尔磁子，σ 表示泡利矩阵，Beff 表示自旋轨道耦合的等效磁场。因此，自旋轨道耦合可理解为一个自旋磁矩和等效磁场的相互作用。
如果电子以动量p 在一个电场中运动，其会感受到一个等效的磁场Beff ～E ×p/mc2，从而产生依赖动量的塞曼能量[4，5]，这部分能量即为自旋轨道耦合能量，此时哈密顿量应采取以下形式
Hsoc ～μB （E ×p）·σ/mc2 （3）
在晶体中电场由晶体势的梯度E =-▽V给出。根据介质材料所受力的性质和材料结构对称性的不同，我们可以将自旋轨道耦合分为Rashba自旋轨道耦合和Dresselhaus自旋轨道耦合。
1.1 Rashba自旋轨道耦合
1960年，Rashba引入了一种简单的自旋轨道耦合形式，而后，Bychkov和Rashba等人将这种自旋轨道耦合形式应用到具有结构反演对称性破缺的二维电子气模型中，以解释二维半导体电子共振自旋霍尔效应的特性，这种自旋轨道耦合被称为Rashba自旋轨道耦合[6，7]。在各种不同的自旋轨道耦合作用形式中，Rashba自旋轨道耦合作用的研究最早开始于半导体材料，在半导体异质结处形成的较大电势梯度导致了较强的自旋轨道耦合效应，并因其强度可由外加电场灵活调控而备受关注。
Rashba自旋轨道耦合通常由半导体材料的结构反演对称性破缺引起，产生某个方向的界面电场E =Ez^z。自旋轨道耦合作用的哈密顿量可表示为[5]
HR =（α/ ）（σ×p）·^z （4）
也可以写作
HR =（α/ ）（pyσx -pxσy ） （5）
其中，α 是Rashba自旋轨道耦合强度，也被称为Rashba参数。
1.2 Dresselhaus自旋轨道耦合
1955年，Dresselhaus 注意到在缺乏体反演对称性的半导体材料中，例如GaAs 或者InSb，电子的自旋与轨道之间的作用能够引起半导体的能带劈裂，由此发现这种体反演不对称引起的自旋轨道耦合效应则为Dresselhaus自旋轨道耦合[8]。哈密顿量可以表示如下[5]
HD =（β/ ）（pxσx -pyσy ） （6）
其中，β 是Dresselhaus自旋轨道耦合强度。
2 等效磁场
由于自旋轨道耦合效应可以被看作是电子自旋和一个等效磁场之间的相互作用。由此，对于不同的Rashba和Dresselhaus自旋轨道耦合可以得出不同的等效磁场，而在一定程度上，等效磁场可以表现对应自旋轨道耦合的特征。
在沒有外场存在的情况下，我们考虑二维电子气中的单个电子运动，总能量包括动能和自旋轨道耦合能量，且x，y 方向的动量守恒。单电子的哈密顿量表示为
3 结语
我们分别介绍了Rashba和Dresselhaus两种自旋轨道耦合作用，并表示为自旋磁矩和等效磁场耦合的塞曼能量，从而得到一种或者两种自旋轨道耦合情况下的等效磁场。
本文中，我们通过解自旋轨道耦合哈密顿量的本征函数和本征能量，求其本征态下泡利算符平均值<σ>SOC 来得出等效磁场的表达式，且依赖于电子波矢k。此方法可看成将自旋1/2电子类比磁场中的小磁针，以电子受自旋轨道耦合作用的自旋取向表示磁场。通过本文给出的等效磁场，我们了解到自旋轨道耦合作用相当于给电子外加了一个等效磁场，从而有助于分析半导体材料中不同自旋轨道耦合作用引起的物理现象。
参考文献
[1] 杨福家.原子物理学[M].4 版.北京：高等教育出版社，2008：151-190.
[2] SHEN S Q， BAO Y J， MICHAEL M A， et al. Resonantspin Hall conductance in quantum Hall systems lacking bulkand structural inversion symmetry[J]. Physical Review B，2005， 71：
155316.
[3] YANG W， CHANG K. Magnetotransport in two-dimensionalelectron gas：
The interplay between spin-orbit interactionand Zeeman splitting[J]. Physical Review B， 2006，73：
045303.
[4] WINKLER R. Spin-orbit coupling effects in two-dimensionalelectron and hole systems[M]. Berlin：
Springer， 2003：69-125.
[5] MANCHON A， KOO H C， NITTA J， et al. New perspectivesfor Rashba spin-orbit coupling[J]. Nature Materials2015， 14：
871-882.
[6] 张跃林，张金星.自旋轨道耦合与自旋霍尔效应[J].北京师范大学学报（自然科学版），2016-12，52（6）：781-789.
ZHANG Y L， ZHANG J X. Spin-orbit coupling and spinhall effect[J]. Journal of Beijing Normal University （NaturalScience）， 2016-12， 52（6）：
781-789. （in Chinese）
[7] RASHBA E. Properties of semiconductors with an extremumloop.1. Cyclotron and combinational resonance in amagnetic field perpendicular to the plane of the loop[J].Sov.Phys. Solid State 2， 1960：
1109-1122.
[8] DRESSELHAUS G. Spin-orbit coupling effects in zincblende structures[J]. Physical Review B， 1955， 100：
580-586.
[9] LIU M H， CHEN K W， CHEN S H， et al. Persistent spinhelix in Rashba-Dresselhaus twodimensional electronsystems[J]. Physical Review B， 2006， 74：
235322.
[10] ZHANG R， BIAO Y C， YOU W L， et al. Generalizedrashba coupling approximation to a resonant spin hall effectof the spin- orbit coupling system in a magnetic field[J].Chinese Physics Letters， 2021， 38：
077304.