谈谈二元二次最值问题的解法

时间:2024-09-09 11:54:01 来源:网友投稿

兰素梅 孙海

二元最值问题通常具有较强的综合性,需灵活运用函数、不等式、方程等知识求解.下面以一道题为例,谈一谈二元二次最值问题的解法.

例题:已知实数 x,y 满足方程 x2+(y -1)2=1,求2x +y 的最值.

问题中涉及了两个变量 x、y,且 x、y 的最高次数均为二次.要求2x +y 的最值,需重点研究 x2+(y -1)2=1,将其进行合理的变形、构造,以使问题获解.

一、数形结合

通常可将一元一次代数式看作直线的方程,将二元二次代数式看作圆、双曲线、椭圆等的方程,将常数看作一条平行于坐标轴的直线.在求解二元最值问题时,可根据代数式的几何意义画出相应的几何图形,把数形结合起来,通过分析图形中点、直线、曲线之间的位置关系,研究几何图形的性质,从而确定目标式的最值.

解:

将 y =-2x +t 看作一条直线,将 x2+(y -1)2=1看作一个圆,其圆心为(0,1),半径为1,据此画出几何图形,便可根据图形中圆与直线的位置关系,确定直线的纵截距 t 取得最值的情形,进而利用点到直线的距离公式求得最值.

二、三角换元

对于二元二次最值问题,通常可将二元二次式配成为两个完全平方式,并将其与同角的三角函数关系式 sin2θ+ cos2θ=1相关联,再令 x =rcos θ,y =rsin θ , 或 x = cos θ+a,y = sin θ+ b ,即可通过三角换元,将变量用同一个角的三角函数表示出来.再利用三角函数公式进行化简,便能利用三角函数的有界性和单调性求得目标式的最值.

解:

先根据 x2+(y -1)2=1的结构特征,令 x = cos θ,y = sin θ+1;
再利用辅助角公式将目标式化成 y =Asin(ωx +φ)的形式,即可利用三角函数的有界性求得最值.

三、利用判别式法

对于二元二次最值问题,可以将其中一个变量看作参数,构造关于另一个变量的一元二次方程,即可根据方程有解得出判别式Δ≥0.再通过解答不等式求得最值.

解:令2x +y =t ,则x =(t -y),将其代入 x2+(y -1)2=1,得关于 y 的一元二次方程5y2-(2t+8)y +t2=0,要使该方程有解,需使Δ=(2t+8)2-20t2≥0,解得 t ∈[1-5, 1+],故2x +y 的最大值为1+,最小值为1-5.

令2x +y =t ,將其与圆的方程联立,通过消元,即可构造出关于 y 的一元二次方程.再根据该方程有解,得出Δ≥0,便能利用判别式法求得最值.

四、利用柯西不等式

二维柯西不等式为(a2+ b2)(c2+d2)≥(ac + bd)2,当且仅当 ad = bc 时等号成立.在求解二元二次最值问题时,可将代数式配凑成柯西不等式的形式,就能利用柯西不等式求得两式平方和的积或两积式的平方和的最值.

解:

根据 x2+(y -1)2=1的结构,巧添因式22+12,即可构造出2x +y -1,再根据柯西不等式即可快速求得2x +y 的最值.

解法1是从“形”的角度出发,通过数形结合求得最值;
解法2、解法3、解法4都是从代数的角度出发,利用相关的性质、定理等求得最值.可见,求解此类问题主要有两种思路:一是从几何角度切入,充分利用代数式的几何意义与图形的几何性质求解;
二是从代数角度入手,根据各个变量之间的关系,将代数式变形或构造方程,通过代数运算,求得最值.

(作者单位:西华师范大学数学与信息学院)

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