■河南省郑州市第一〇一中学 冯连福
解析几何数学运算能力是指在明晰运算对象(直线、圆、圆锥曲线等)的基础上,依据运算法则解决数学问题的能力。同学们在解析几何数学运算中存在的诸多问题,要通过数学运算专项训练,培养良好的数学运算习惯,增强数学运算的信心,提高数学运算的正确率,达到“敢计算”“愿计算”“会计算”的效果。下面以2023年高考全国乙卷理数第20题为例,说明提高解析几何数学运算能力的策略。
题目:已知椭圆C:0)的离心率为,点A(-2,0)在椭圆C上。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点。
解析:(1)由题意得b=2=b2+c2,解得a=3,b=2。
椭圆C的标准方程为
(2)求解定点问题的常用方法是先猜后证。若直线PQ的斜率趋于零,则点M、N趋于点(0,3),故MN中点过定点(0,3),下面证明这个结论。
策略一 点斜式正设。先用点斜式设出直线PQ,再将直线方程与椭圆方程联立。
设直线PQ的方程为y=k(x+2)+3,即y=kx+2k+3,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)。
MN的中点是定点(0,3)。
策略二 点斜式反设。先用点斜式反设直线PQ,再将直线方程与椭圆方程联立,此策略计算量较策略一少一些。
故MN的中点是定点(0,3)。
策略三 斜截式正设。先用斜截式设出直线PQ,再将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理写出表达式,最后代入m=2k+3化简。此策略数学运算量较前两种少。
设直线PQ的方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)。
因为PQ过(-2,3),所以m=2k+3。
所以MN的中点是定点(0,3)。
(思路二)先分离常数再代入韦达定理,计算量会少一些。
策略四 斜截式反设。先用斜截式仅设出直线PQ,再将直线方程与椭圆方程联立。
设PQ:x=my+n,P(x1,y1),Q(x2,y2)。
因PQ过(-2,3),故3m+n=-2,即b+2=-3m。
故MN的中点是定点(0,3)。
策略五 点斜式正设+斜率同构。先对直线AP、AQ方程的点斜式正设,再与椭圆方程联立,求点P,Q坐标,最后斜率同构。
设AP:y=k1(x+2),AQ:y=k2(x+2),设P(xP,yP),Q(xQ,yQ)。设PQ:y-3=k(x+2)。
故k1、k2是12x2-36x+36k+27=0的解,则k1+k2=3。
因为M(0,2k1),N(0,2k2),所以MN的中点是(0,k1+k2)。
故MN的中点是定点(0,3)。
策略六 斜截式反设+斜率同构。先对直线AP、AQ方程的斜截式反设,再求点P,Q坐标。设B(-2,3),由B,P,Q三点共线,得到
设AP:x=m1y-2,AQ:x=m2y-2,P(xP,yP),Q(xQ,yQ)。
策略七 点斜式正设+齐次化法。先用点斜式正设直线AP、AQ的方程,求出MN中点坐标,联想齐次化。齐次化解题的要点是消常数项。
设P(x1,y1),Q(x2,y2)。
故MN的中点是定点(0,3)。
策略八 坐标轴平移+齐次化法+一般式。由于MN中点的纵坐标与斜率有关,为简化计算,自然联想到以点A为坐标系原点建立坐标系。
设PQ:mx+ny=1。
因为直线PQ过点(0,3),所以3n=1。
故平移前MN的中点为定点(0,3)。
策略九 二次曲线系。此题是定点定值问题,背景是极点极线问题,故可用二次曲线系。
设直线AP的方程为x=my-2,即xmy+2=0。
直线AQ的方程为x=ny-2,即xny+2=0。
直线PQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0。
点A处切线方程为x=-2,即x+2=0。
设M(0,yM),N(0,yN)。
故MN的中点为定点(0,3)。
策略十 斜率同构。先由点斜式正设AP、AQ、PQ的 方 程,再 联 立 求 点P、Q坐标,最后将两点坐标代入椭圆方程,利用同构求出k1+k2值,即求出中点坐标。
设直线AP的方程为y=k1(x+2),则点M的坐标为(0,2k1)。
设直线AQ的方程为y=k2(x+2),则点N的坐标为(0,2k2)。
则MN的中点为(0,k1+k2)。
下面求k1+k2的值。
设直线PQ的方程为y=k(x+2)+3。
将直线AP与直线PQ联立,求点P坐标。
同理,点Q在椭圆9x2+4y2=36上,可得4k22-12k2+12k+9=0。
所以k1、k2是 方 程4x2-12x+12k+9=0的解。
所以MN的中点为定点(0,3)。
以上为常用解题策略,请同学们仔细领会、认真钻研,对于不同的情景选择合适的策略,提高自己的解析几何数学运算能力。
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