陈美芬
［摘 要］ 探索是学生理解知识、应用知识、内化知识的必经之路. 在数学教学中，教师应结合教学实际设计问题串，引导学生经历提出问题、形成猜想、证明猜想等数学研究过程，通过亲历真实的数学研究过程，让学生掌握数学研究方法，提高数学探究能力，落实数学学科核心素养.
［关键词］ 探索；
问题串；
研究过程；
学会学习
是否学好数学不是看学生掌握了多少知识，也不是看学生做了多少道题，而是看学生是否学会了思考、学会了学习. 在日常教学中，教师应该少一些讲授，多留一些时间让学生去自主探索、主动发现. 在数学概念、定理、公式等基础知识的教学中，教师应该重视引导学生亲历知识形成过程，以此让学生更好地理解知识，提高学生综合应用数学知识和数学思想方法解决问题的能力. 笔者在教学“基本不等式”时，以学生已有认知体系为起点，引导学生经历数学研究过程，最终走上“会学”之路.
课堂教学实录
1. 引入生活情境，提出数学问题
师：大家知道它是什么吗？（用PPT展示天平图片）
生齐声答：天平.
师：很好，相信大家在物理课上都见过并使用过天平. 现在遇到了一个比较棘手的问题：有一架天平在制造时出现了问题，天平的两臂长度略有不同，使得称出来的物体的质量出现了误差. 若将物体放在左侧托盘测量，测得物体质量为a，放在右侧托盘测量，测得物体质量为b，则物体的实际质量应该是多少呢？（学生积极思考）
师：你是怎么想的呢？
生1：我认为放在左、右托盘各称一次，结果是一次比实际质量略大，一次比实际质量略小，这样取平均值刚好就是物体的实际质量.
（大多数学生点头表示赞成生1的说法）
师：大家还能从其他角度合理表示物体的实际质量吗？（预留时间让学生思考、计算）
师：你是怎样想到的呢？
2. 设计数学实验，生成数学猜想
（先让学生独立思考，然后交流展示学生的探究结果. ）
师：这是一个方法，不过取一个值就得到结论是否有些牵强呢？是否存在小于或等于的情况呢？
（预留时间让学生再列举几个特殊值，使学生更好地感知结论. 在此基础上，给出表1让学生进一步观察、猜想. ）
师：结合表1的数据以及自己列举的特殊值，请给出你们的猜想.
师：我们知道数学是一门严谨的学科，我们给出大量数据进行验证，依然具有一定的特殊性，其研究结果并不能作为数学命题，接下来该怎么办呢？
3. 尝试数学证明，获得数学命题
师：你有没有更好的方法来验证这一结论呢？
生齐声答：证明.
师：非常棒的想法，具体该如何证明呢？
（让学生独立思考，并鼓励学生尝试不同的证明思路. ）
师：何时取等号呢？
生6：当a=b时取等号.
生齐声答：对.
师：也就是说，当且仅当a=b时，不等式取等号.
师：回顾以上证明过程，对于该结论是否有需要补充的地方呢？
师：非常好. 还有其他证明方法吗？如果不平方作差，是否可以证明该结论呢？
师：很好，除了作差比较法外，大家还能想到其他证明方法吗？
师：我们将其称为分析法，该方法在定理、结论的证明中有着重要应用. 分析法看似简单，但是其对书写格式的要求相对较高，只有始终保持清晰的思维脉络，才能避免证明过程中出现主观臆想，影响证明效果.
师：比较以上两种方法，请大家思考综合法和分析法存在怎样的区别与联系.
（投影展示综合法和分析法的证明过程，让学生进一步观察、对比、交流.）
生11：分析法从要证的结论入手，逐步寻找使结论成立的充分条件；
而综合法的证明过程恰恰相反，将分析法的最后一步作为条件，逐步推导，最终得到结论.
师：说得非常好，前者是执果索因，后者是由因导果. 这样我们用不同方法证明了猜想，得到了真命题，即若a，b是正数，则■≤■，当且仅当a=b时取等号.
设计意图 在证明猜想的过程中，笔者没有直接将证明过程强加给学生，而是从学生的真实想法出发，启发和引导学生寻求不同的证明思路，并通过有效互动逐渐修正和完善证明思路，以此自然得到四种不同的证明方法，促进学生自主探究能力的提升和思维能力的发展. 同时，通过师生和生生的有效对话，让不同思维碰撞出不同的火花，使数学课堂焕发出勃勃生机.
4. 数学命题精析，形成研究经验
师：刚刚我们从数的角度出发，分别用平方作差法、作差比较法、分析法和综合法证明了结论. 如果换个角度，从形的角度出发，能否证明这个不等式呢？
让学生独立思考，部分学生无从入手，于是启发学生将a，b看成两条线段，根据已有知识去构造不等式两侧的量. 在笔者的启发和引导下，学生很快找到了解决问题的突破口.
师：真是一个不错的想法，我们现在就按照生13的思路来画这个圆. （预留时间让学生动手画图）
师：谁来说一说设计过程.
生17：两个正数的几何平均数不大于算术平均数.
师：一定要强调a，b为正数吗？如果一个数为正，一个数为负；
或者两个数都为负；
或者其中一个数为0. 这些情况都不行吗？
（学生积极思考，并尝试举例证明.）
师：说得非常好，基本不等式有许多变式，它是我们高考的一个重要考点. 限于本节课时间，对于其变式我们下节课再继续研究.
设计意图 从学习反馈来看，大多数学生是从数的角度出发证明基本不等式的. 为了深化学生对基本不等式的理解，让学生获得更加直观的感受，笔者引导学生从形的角度去探索基本不等式的几何意义，认清基本不等式的本质. 在此基础上，对a，b的范围进行扩充，揭示基本不等式的神秘面纱，激发学生后续学习不等式的热情.
5. 自主课堂小结，深化知识理解
师：现在请同学们回头看，通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
6. 课后拓展延伸，提升思维能力
师：课后请大家思考这样两个问题.
问题1 基本不等式能否推广至n（n>1，n∈N*）个非负数的情形呢？
问题2 2002年国际数学家大会会标是依据赵爽弦图设计的（如图3所示）. 通过本节课的学习，在图3中你可以找到哪些相等和不等的数量关系呢？
设计意图 问题是诱发学生思考的动力源. 让学生带着问题离开课堂，不仅可以增添课堂的凝聚力，还可以拓宽学生的视野，提高学生分析问题、解决问题的能力.
教学思考
在数学教学中，若教师直接将知识讲授给学生，会增加数学课堂的枯燥感，影响学生参与数学学习的积极性，不利于学生可持续学习能力的提升. 因此，在日常教学中，教师应创造机会让学生去探索，以此激活学生的思维，提高课堂教学的有效性；
应认真研究教材，把握好教学的重难点和核心知识点，以学生最近发展区为起点，精心设计问题，引导学生经历“问题—实验—猜想—证明”数学研究过程，以此不断完善学生的认知体系，提高学生自主学习能力.
另外，在数学教学中，教师可以通过科技手段拓展学生的数学学习方式，启发和指导学生多角度、多维度地思考和解决问题，以此增强数学课堂的探究性和趣味性，讓学生的数学思维自然生长，提高课堂教学的有效性.
总之，数学学习是一个慢过程，教学中要多提供机会让学生去发现、去感悟，让学生亲身经历数学研究过程，如此才能促使学生走上“会学”之路.
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