下面是小编为大家整理的2023分析等价无穷小性质理解、延拓及应用3篇,供大家参考。
等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，下面是小编精心为大家整理的分析等价无穷小性质的理解、延拓及应用（优秀3篇），如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
等价无穷小的应用 篇一
2.1 在求极限中经常用到的等价无穷小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1, 1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)
例1 limx→0tanx-sinxx3
解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx
=limx→0x·12x2x3（∵ sinx～x,1-cosx～x22）
=12
此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。
∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。
例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。
例3 limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 （∵ sinx～x）
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44
（∵ tanx～x）
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 （∵ tanx～x）
两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx～x-xcosx （注意limx→0sinx-xcosx=-1）， 由性质③ sinx-xcosx并不等价于x-xcosx 。 从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。
2.2 在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的"一个应用。
比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正项级数， ① 如果limn→∞unvn=l（0≤l<+∞） ，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。
② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1un发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un与∑vn同敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性，就可以找到另一个的敛散性。
例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的敛散性
解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收敛 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收敛
例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的敛散性
解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 发散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 发散
3 等价无穷小无可比拟的作用
以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：
例6[3] limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）
=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）
=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）
=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）
=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。
∵ x～sinx～tanx(x→0)
∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性[3]。只要充分地掌握好等价无穷小的4条性质就不难求出正确的结论。
等价无穷小的概念及其重要性质 篇二
无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时（或x→∞）时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时（或x→∞）时为无穷小。
当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。
常见性质有：
设α，α′，β，β′，γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′，β～β′， 且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，则α～γ
性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：
③ 若α～α′，β～β′， 且limβα=c（≠-1），则α+β～α′+β′
证明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′
而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c（≠-1）”这个条件，千篇一律认为“α～α′，β～β′，则有α+β～α′+β′
④ 若α～α′，β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′
此性质的证明见文献[2]，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c（≠-1）”，“Aα .baihua .cn wen.cn ′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。
参考文献 篇三
1 同济大学应用数学系，主编。高等数学。第5版。北京：高等教育出版社，2002,7(38)：56～59.
2 杨文泰，等。价无穷小量代换定理的推广。甘肃高师学报，2005，10(2)：11～13.
3 王斌。用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨。黔西南民族师专学报，2001，12(4)：56～58.